s
Салу. \ ) X I X = ( A B ) n ( C D ) ,
X = ( C D ) n ( M S B )
; 2) { M X ) - ізделінді.
Дәлелдеу. Түзу M X = a глр -нан шығатын
ізделінді түзу (2-сурет).
Зерттеу. Érep АВ мен CD түзулері киылыс-
са, есептін бір шешуі бар; егер A B \ \ C D бол
са, онда 2-есептін шешуі болмайды.
2-есебінің шешуі 1-есептін баска, жалпы
шешімін береді. М нүктесі және a түзуі арк
ылы a жазыктығын салуға болалы. Бүдан сон
b
түзуім ен a ж а зы қты ғы н ы ң киы лы су
нүктесі - X нүктесін салуға болады. Егер
{ M X )
түзуі a түзуімен киылысса, онда { M X )
түзуі есептін шешуі болады. X нүктесін салу
үшін b түзуі аркылы кез келген д жазыкты-
ғын жүргізу жеткілікті. л. мен a -ның киылы
су түзуі жэне х - b n a нүктесі аркылы J-ны
салуға болады. 2-есептегі a - ( S B ) , b ~ ( C D ) ,
a = ( M S B ) , À - { A B C D ) , d = ( A B
) ,
ж э н е (М А ')
түзулерінің беттесетіндігіне көз жеткізу киын
емес.
1-ші және 2-есептерінің шешулерінің бір-
бірінеи озгешелігі қандай екеніне назар ауда-
райык. 1-есептің шешуі 1-суретте көрсетілген,
онда белгілі бір
а,Ь, с
түзулерін салу аркылы
орындалған. 2-суретті { M X ) тү зу і мен X
нүктесі есеп шартынан бір мәнді аныкталады.
Призма мен пирамиданың кимасын салуға
арналған есептерді шешудін жалпы әдістерін
қарастырайык.
a
жазыктығынан a түзуін және көпж ак-
тын бір жағынын у жазықтығын тандап алып,
олардын киылысуынан X нүктесін саламыз.
у
ж азы кты ғы н онда a ж а зы кты гы н ы ң
берілген бір нүктесі жататындай түрде тандап
аламыз. а , у жазықтыктарында жататын екі
нүкте алып, а жэне у жазыктыктарының
киылысу сызығын саламыз. X нүктесін салу
үшін a түзуі аркылы өтетін косымша р жа-
2.«Математика жене физика» № 5, 2010.
зыктығын жүргіземіз Ь = р п у жэне X = a г>Ь
болатындай b
киы лы су сызығы мен X
нүктесін саламыз, онда X = a n у .
Егер копж ак призма болса, онда р жазык-
тыгы әдетте бүйір қабырғасына жүргізіледі, ал
егер копж ак пирамида болса, р жазыктыгы
пирамиданын төбесі аркылы өтеді. Келесі 3-
есептін жэне макалада келтірілген осы сияк-
ты баска есептердін шешулері осы тәсіл арк
ылы көрсетіледі.
З-есеп.Призманын « кима жазыктығын
салу
ке ре к,
мұндағы
a = (PQR
) ,
егер
P e [ D D ^ , Q e [ C C , \ R z [ A A , \
Ш е ш у і. I ж ағд ай. E = ( A B ) r \ ( C D ) деп
белгілейік. a түзуі ретінде PQ тұзуін тандап
тандап аламыз, у жазыктығы ретінде АА] Н[ В
жазыктыгын аламыз, р жазыктығынын ролін
DD\C{C
аткарады. Салу:
1 ) E \ E = ( A B ) n ( C D ) ;
2) Щ I{Е Е ;)//(С С Н Е Е ,) = ( D D f f ) Г)(ААІ
/?);
3) X I X = (PQ) n ( ЕЕ, ), X = (PQ) n (A A, Bt B)-
4 ) R X \ ( R X ) = c c n ( A A l BlB);
5 ) S \ S = ( R X ) n [ B ]B ] -
6) PQSR- ізделген кима.
I l
жағдай. АВ мен CD түзулері киылыс-
пайды, немесе олардын киылысу нүктесі сыз-
бадан тыс болады. RQ кесіндісінен М нүктесін
тандап аламыз жэне X ~ ( Р М ) п ( А А 1ВіВ) бо
латындай нүктесін саламыз. Бұдан сон RX
түзуін жүргіземіз, сондай-ак S = ( R X ) n \ BBt
болатындай S н ү кт е с ін табамыз. RPQS-
ізделінді кима. Егер X = ( Р М ) г \ ( В В , С хС) , онда
S = ( Q X ) r [ В .
5 ] . Егер М нүктесін RQ кесін-
дісінен тандап алынса және ол нүкте DD^B^B
-
диагональдық кимада жатса, онда: X = S
жэне салу жүмысы ыкшамдалады.
Призманын немесе пирамиданын кимасы
бір түзудін бойында жатпайтын үш нүкте ар
кылы бір мәнді аныкталады, онда кима салу
есебінін бір ғана шешуі болады, сондыктан
есепке зерттеу ж үргізудін кажеті болмайды.
Кима салу есебінін сәтті болуы ен алдымен
тузу мен жазыктыктын киылысу нүктесін сала
білуге тікелей байланысты.
17
140-3
4-есеп. Тікбүрышты параллелен и педтін ди-
агоналы табанымен a бұрыш, ал бүйір жағы-
нын диагоналы табан жазықтығымен /? бүрыш
жасайды. Аталған диагоналдар арасындағы
бүрышты табыныздар.
Ш еш уі. A BCD AXB,C{D, тікбүрышты парал
лелепипед
б е р іл с ін .
Z D XBDD - а
ж э н е
Z D^AD
=/?
болсын. ZBD^A бүрыш ын та-
байық (3-сурет). Е кі жакты бұрыш Z A D B бо
латын D^ADB үшжақты бүрыш тік, олай бол
са, Zco$,BD]D = c o s Z B D {A - c o $ Z A D ]D, бүдан
. пгі
.
sin a
cos Z B D . A - ------- .
sin /?
5-ecen. SABC тетраэдрында ZACB=ZSBC-9(f,
\AC\ = l \BC\ = 2,
|-S»| = 3 .
BC қырындағы е кіж а қты бұрыш a . |&4|
мен тетраэдр көлемін табыныздар.
6-есеп.
SA ВС
тетраэдрында
|л я | = 6.
АС\ = \ВС\
= 5, |5Д| = 5,|5С| = ^/307 SBA = 90°
ко-
лемін табыныздар.
Ш еш удің 1-тәсілі. [ 5 0 ] 1 (ИДС) жүргізе-
міз. Онда SBO - АВ екіж акты бұрыштын сы-
зы кты қ бүрышы (5-сурет).
3-сурет
Ш еш уі. SO - тетраэдрдін б и іктігі болсын.
Онда ( О Д ) і( й С ) және ZSBO бүрышы ВС-
кырындағы е кіж а қт ы бүры ш ты н с ы зы кты қ
бұрышы болады (4-сурет). Есеп шарты бойын
ша ZSBO = a ■ Ү ш ж а қт ы бүры ш ты н касие-
тін е н ,
Zcos SBA = cos ZOBA ■ cos a •
Осыдан
cos ZSBA = соs Z B A C - cos a = cosa
ДASB үшбұрышынан:
\SA\2
= 9 + 5 - 2 - 3 - V J •
cos a
~ 7 T
= 14 - 6 c o s a ,
|5Л| = sj 14 -
6 c o s a .
Т ік б үры ш ты
дSBO
үшбүрышынан \SO\ = 3sina , ендеше
V
= — • — • 1 ■ 2 І50І = — • — -1 -2• 3 s in « = sin or
3 2
1
1 3 2
Ж ауабы:
І.Х4І
= \ J \ 4 - 6 c o s a ;
V
=
sm a
5-cypem
[ С І ) ] - Л С 5 үш бүры ш ы ны ң б и ік т іг і бол
сын, \CDj = 4 . SBC үшбүрышында:
|SCf = |5 £ |2 + |5 C |2 - 2\ SB\\ BC\-cos SBC =
= 25 + 25 - 2 ■
25 • cos SBC = 5 0 -5 0 cos SBC ,
_
I c r
|2
осыдан cos
SBC
=
50 - SC
50 - 30
2
. .
1 5 ------------- 50------ 5 ' Ү ш '
жакты BSOC бұрышка макаланың 6-пунктін-
дегі формуланы колдансак:
cos SBC - cos ОВС cos SBO • Бұдан:
cos
SB C
c o s
SBO
=
1
c o s
D C В
■Ji
T l - ' i - Көлемі:
ю Т з
.
V
= —- 3- 4- 5 ■-
3
2
2-тәсіл. SBO бұрышы BS жэне DC век-
торларынын арасындағы бұрышка тен. SBO= а
деп б е л гіл е й м із, сонда BS-DC = 5-4
c o s a
,
екінш і жағынан, b's d c = b ’s [ d b + b'c j =
2
BS- DB
B S - B C
= 5 -5 - cos
Z S B C
= 25 - = 1 0
5
20cosa = 10,cosa = — . т.с.с.
(Жалғасы бар)
18
Достарыңызбен бөлісу: |
