Мысалдар. 1. Кез келген векторлық кеңістіктің тепе-теңдік операторының бейнесі V кеңістігі, ядросы нөлдік ішкеңістік болады: Im = V, Ker = {}. Нөлдік оператордың бейнесі нөлдік ішкеңістік және ядросы V кеңістігі болады: Im = {}, Ker = V.
2. Дәрежелері n-нен аспайтын көпмүшелердің R[x]n кеңістігінің дифференциалдау d операторына Im d бейнесі (n – 1)-ден аспайтын көпмүшелердің R[x]n–1 ішкеңістігі, ал ядросы тұрақты көпмүшелердің ішкеңістігі болады: Im d = R[x]n–1, Ker d = R[x]0.
3. Егер векторлық V кеңістігі U және W ішкеңістіктерінің тура қосындысы болса (V = U W), онда U ішкеңістігіне проекциялау операторының бейнесі U ішкеңістігі, ал ядросы W ішеңістігі болады: Im = U, Ker = W.
4. R4 кеңістігінің операторы e1, e2, e3, e4 базисінде A = матрицасымен берілсін. Оператордың бейнесінің және ядросының базистерін табайық.
Оператордың бейнесі (e1), (e2), (e3), (e4) векторларымен туындайды, олардың координаталық жолдары (1, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), (2, 3, 5, 7), (3, 4, 7, 10) болады. Осы жүйенің рангі 2-ге тең және базисін (e1), (e2) векторлары құрайтынын көрсетуге болады. Сондықтан rang = 2, Im = L((e1), (e2), (e3), (e4) = L((e1), (e2)).
Енді оператордың ядросын табайық, атап айтқанда ядроның өлшемдігін және базисін. Белгісіз x векторының берілген базистегі координаталық жолы (x1, x2, x3, x4) болсын. Онда (x) = теңдігі матрицалық түрде жазылады: A · = немесе · = түрінде. Соңғы теңдеуді ашса, біртекті жүйеге келеміз. Осы жүйенің нөлден өзгеше шешімдері ядролық векторлардың берілген базистегі координаталық жолдарын береді. Жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін (базисін) a1 = (–1, –1, 1, 0), a2 = (–2, –1, 0, 1) векторлары құрайды. Сондықтан оператордың ядросының базисін a1, a2 векторлары құрайды: ker = L(a1, a2). Ал rang = 2, def = 2.
§ 5. Сызықтық алгебралар
Мысалдар. 1. b Комплекс сандар С жиыны нақты сандар өрісіндегі векторлық кеңістік болады. Комплекс сандар өрісінде көбейту операциясы анықталған. Көбейтуге бисызықтық шарттары орындалады, сондықтан комплекс сандарының С жиыны нақты сандар өрісіндегі сызықтық алгебра болады және оның рангі 2-ге тең.
2. F өрісіндегі n-өлшемді квадрат матрицалардың M(n, F) жиыны n2-өлшемді векторлық кеңістік болады. 1-тарауда матрицалардың көбейтуі анықталған. 2.2.1-теорема бойынша, матрицалардың көбейтуіне бисызықтық шарттар орындалады. Сондықтан квадрат матрицалардың M(n, F) жиыны F өрісіндегі сызықтық алгебра болады. Оның рангі n2.
Осы алгебра F өрісіндегі толық матрицалық алгебра деп аталады.
3. Кватерниондар K4 = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d R} жиыны нақты сандар өрісіндегі 4-өлшемді векторлық кеңістік құрайтыны көрсетілген. Кіріспеде кватерниондарды көбейтудің бисызықытық шарттары орындалатыны көрсетілген. Сондықтан кватерниондардың K4 жиыны нақты сандар өрісіндегі сызықтық алгебра құрайды және оның рангі 4-ке тең.
4. Екі өлшемді түріндегі матрицалардың K2 жиынын қарайық, мұндағы a, b – нақты сандар: K2 = { | a, b R }.
Ал K2 M(2, R). Егер A, B K2 болса, онда A + B, AB, A K2. Сондықтан K2 жиыны M2(R) кеңістігінің ішкеңістігі болады және көбейту осы жиында алгебралық операция болады. Сонымен бірге, матрицалардың көбейтуіне бисызықтық шарттар орындалады. Сондықтан K2 нақты сандар өрісіндегі сызықтық алгебра болады. Оның рангі 2-ге тең.
5. Төртөлшемді квадраттық нақты матрицалардың M4(R) кеңістігінің түріндегі матрицалардың L ішжиынын қарайық. Егер A, B L матрицалары және скаляры берілсе, онда A + B, A·B, A L екенін көрсетуге болады. Сондықтан L жиыны сызықтық алгебра болады. Оның рангі 4-ке тең.
Мысалдар. 1. Нақты сандар өрісіндегі рангі 2-ге тең келесі екі алгебра изоморф: нақты сандар өрісіндегі комплекс сандардың C алгебрасы және түріндегі матрицалардың K2 = { | a, b R } алгебрасы. Мұнда Ф(a + bi) = деп алу керек.
2. Нақты сандар өрісіндегі рангі 4-ке тең келесі екі алгебра изоморф: кватерниондардың K4 = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d R} алгебрасы және 4-өлшемді түріндегі түріндегі матрицалардың L алгебрасы, мұндағы a, b, c, d R.. Мұнда Ф(a + bi + cj + dk) = деп алу керек.
§ 6. Керіленетін операторлар
Достарыңызбен бөлісу: |