Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	38/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 34 35 36 37 38 39 40 41 ... 47

§ 7. Инвариант ішкеңістіктер

Мысалдар. 1. Кез келген V векторлық кеңістігінің кез келген φ операторының екі мардымсыз (өзіндік емес) инвариант ішкеңістігі табылады: нөлдік ішкеңістік және V кеіңістігінің өзі, өйткені φ({

})  {

} және φ(V)  V.

2. Нөлден өзгеше a векторына керілген L(a) ішкеңістігі инвариант кеңістік болсын. Ал L(a) кеңістігінің векторлары a векторына пропорционал болады. Сондықтан кейбір λ скалярына φ(a) = λa.

Керісінше, кейбір a векторына φ(a) = λa болса, онда a векторына керілген бір өлшемді L(a) ішкеңістігі φ операторының инвариант ішкеңістігі болады, өйткені L(a) ішкеңістігінің кез келген векторының түрі aa болады, ал φ(aa) = aφ(a) = a(λa) = λ(aa), яғни φ(aa) Î L(a).

3. Векторлық V кеңістігінің  сызықтық операторы берілсін. Онда  операторының ker  ядросы және Im  бейнесі  операторының инвариант ішкеңістіктері болатынын көрсетуге болады.

4. Векторлық V кеңістігі U және W ішкеңістіктерінің тура қосындысы болсын: V = U  W. Енді U ішкеңістігіне проекциялау операторын қарайық _U: V  V, c = a + b, a  U, b  W болғанда, _U(c) = a. Онда U ішкеңістігі _U операторының инвариант ішкеңістігі болады.

5. Нақты сандар өрісіндегі көпмүшелердің R[x] кеңістігінің дифференциалдау d операторын қарайық: d(f) = f, f  R[x]. Онда дәрежелі n-нен аспайтын көпмүшелердің R[x]_n ішкеңістігі дифференциалдау d операторының инвариант ішкеңістігі болады.

6. Егер векторлық V кеңістігінің екі  және  сызықтық оператор алмастырымды болса (яғни  =  болса), онда  операторының ker  ядросы және Im  бейнесі  операторының инвариант ішкеңістігі болады.

7. Жазықтықтағы векторлардың V₂ кеңістігінің  бұрышына бұрылу _ операторы берілсін, 0 <  <

. Егер осы оператордың өзіндік инвариант U ішкеңістігі болса, онда U – бірөлшемді ішкеңістік, яғни кейбір нормаланған a векторына U = {a |   R}. Жасаушы a векторының координаталары (1, 0) болатындай базис табуға болады. Кез келген x  U векторы кейбір  скалярына x = a = (, 0). Енді y = _(x) болсын. Онда кейбір  скалярына y = a = (, 0). Екінші жағынан,

. Осыдан  = cos, 0 = sin. Ал sin  0, сондықтан  = 0. Осыдан U = {

}. Қайшылық. Сондықтан  бұрышына бұрылу _ операторының 0 <  <

болғанда өзіндік инвариант ішкеңістігі болмайды.

§ 8. Өзіндік векторлар және өзіндік мәндер

Мысалдар. 1. Оператордың өзіндік мәнін табу мәселесі негізгі F өрісіне тәуелді. Мысалы, R² кеңістігінің операторы стандарт e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1) базисінде A =

матрицасымен берілсін. Сипаттауыш | A – E | =

= ² + 2 + 2 көпмүшесінің нақты түбірі болмайды, сондықтан 4-теореманы қолдана алмаймыз.

Ал комплекс сандар өрісінде сипаттауыш көпмүшенің екі комплекс түбірі болады: ₁ = 1 + i, ₂ = 1 – i.

2. Нақты сандар өрісіндегі үшөлшемді кеңістіктің бір базисіндегі оператордың A =

матрицасы берілсін. Оның өзіндік мәндерін және өзіндік векторларын табайық.

Матрицаның сипаттауыш теңдеуі

= 0 болады. Осыдан (l – 2)³ = 0. Сондықтан сипаттауыш теңдеудің жалғыз l = 2 түбірі болады. Енді жүйені l = 2 мәніне жүйені шешейік: (A – 2E)

. Осы жүйенің фундаментальды жүйесін a₁ = (1, 2, 0), a₂ = (0, 0, 1) векторлары құрайды. Сондықтан өзіндік λ = 2 мәніне тиісті өзіндік екі вектор бар: a₁ = (1, 2, 0), a₂ = (0, 0, 1). Сонымен бірге, өзіндік λ = 2 мәніне тиісті өзіндік вектор a₁, a₂ векторларының кез келген сызықтық комбинациясы болады: a = a(1, 2, 0) + b(0, 0, 1) векторы болады, мұндағы a, b Î R. Оған қоса, оператордың инвариант ішкеңістігі a₁, a₂ векторларына керілген L(a₁, a₂) ішкеңістігі болады.

§ 9. Жай спектрлі сызықтық операторлар

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 34 35 36 37 38 39 40 41 ... 47