Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

8
Олай болса 
 
{
}
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
0
t
b
t
a
b
a
t
b
t
a
t
t
t
t
t
t
→
→
→
+
=
+
=
+
.           (1.13)
Теорема 1.4
.
 
m t a t
a t b t
( ) ( ), ( ( ), ( ))
⋅
, 
)
(
)
(
t
b
t
a
×
 түрін 
дегі көбей-
тінділердің шектері бар жəне олар сəйкес 
0
0
0
0
0
0
,
,
b
a
b
a
a
m
×
⋅
⋅
 
көбейтін ділеріне  тең.
Дəлелдеме
.
 
{
} {
}
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m
−
+
−
=
−
теңдігінен 
 
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m
−
+
−
≤
−
болатыны шығады. (1.12) қатынастарының күшімен соңғы теңсіз-
дік 
тің оң жағындағы 
0
)
(
a
t
a
−
 жəне 
0
)
(
m
t
m
−
 көбейткіш 
тері 
0
t
t
→
 жағдайында нөлге ұмтылады. Олай болса
 
0
)
(
)
(
lim
0
0
0
=
−
→
a
m
t
a
t
m
t
t
яғни 
 
.
)
(
)
(
lim
0
0
0
a
m
t
a
t
m
t
t
=
→
Əрі қарай, скаляр көбейтіндісінің белгілі қасиеттері бойынша 
 
(
)
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
)
(
),
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
=
−
.
Бұдан алдыңғыға ұқсас
 
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
))
(
),
(
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
≤
−
                              
Кез келген 
p
 жəне 
q
 векторлары үшін 
 
q
p
q
p
q
p
q
p
⋅
≤
⋅
⋅
=
⋅
)
,
cos(
 

9
болғандықтан,
a t b t
a b
a t
a b t
a b t
b
0
0
0
0
0
( ( ), ( )) ( , )
( ( )
( )
( )
−
≤
−
+
−
.
(1.12) қатынастары бойынша 
0
)
(
(
a
t
a
−
 жəне 
0
)
(
b
t
b
−
 
көбейткіштерінің нөлге ұмтылуынан жазылған теңсіздіктің оң 
жағы нөлге ұмтылады, демек
t
t
a t b t
a b
0
0
0
lim( ( ), ( ))
.
→
=
⋅
Енді кез келген 
p
 жəне 
q
 векторлары үшін
q
p
q
p
q
p
q
p
⋅
≤





 ∧
⋅
=
×
,
sin
болғандықтан
(
)
(
)
(
)
(
)
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
⋅
+
⋅
−
≤
−
×
+
×
−
≤
≤
−
×
+
×
−
=
×
−
×
(1.12) қатынастарының күшімен теңсіздіктің оң жағы нөлге ұм-
тылады, демек
.
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
b
a
t
b
t
a
t
t
×
=
×
→
Теорема дəлелденді.
§3. Вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен 
дифференциалдануы. Вектор-функцияларды 
дифференциалдау ережелері
Вектор-функция ұғымының арқасында 1 аргументті вектор-
функциясы үзіліссіздігі мен дифференциалдануының анықта ма-
сын енгізейік.

10
1.4-анықтама
. 
Егер
)
(
)
(
lim
0
0
t
a
t
a
t
t
=
→
                              
(1.14)
болса, 
)
(
t
a
 вектор-функциясы 
0
t
t
=
 мəнінде үзіліссіз деп 
аталады
.
1.5-анықтама. 
)
(
t
a
 вектор-функциясының 
)
(
)
(
)
(
lim
0
/
0
0
0
t
a
t
t
t
a
t
a
t
t
=
−
−
→
                         
(1.15)
шегі бар болса, оны 
0
t
t
=
 мəнінде дифференциалданатын 
вектор-функция дейміз.
)
(
0
t
a
′
 
векторы айтылған вектор-функцияның 
0
t
t
=
 нүкте-
сінде алынған туындысы
 делінеді. Егер 
)
(
t
a
 вектор-функция-
сының туындысы 
2
1
t
t
t
≤
≤
 кесіндісінің əрбір 
t
 мəнінде бар бол-
са, онда 
)
(
t
a
′
 функциясы 
t
 - ға тəуелді вектор-функция болады. 
Егер 
)
(
t
a
′
 функциясы үзіліссіз жəне дифференциалдамалы бол-
са, оның туындысы 
)
(
t
a
 вектор-функциясының екінші туынды-
сы деп аталады да, 
)
(
t
a
′′
 деп белгіленеді.
Төменде екі жəне саны одан кем болмайтын скаляр аргумент-
ті вектор-функцияларды қарастырамыз. Бұл жағдайда кəдімгі 
анализдегідей дербес туындылар, аргументтерінің бірі арқылы 
туынды ретінде анықталады.
Вектор-функция шегінің қасиеттерін пайдалана отырып, век-
тор-функция үзіліссіздігінің төмендегі қасиеттерін дəлелдеу 
қиын емес:
1) үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы үзіліссіз век-
тор-функция болады;
2) үзіліссіз вектор-функциялардың (бірі скаляр, бірі вектор-
функ ция) 
)
(
)
(
t
a
t
m
 көбейтіндісі үзіліссіз вектор-функция;
3) үзіліссіз вектор-функциялардың скаляр көбейтіндісі үзіліс-
сіз функция;

11
4) екі үзіліссіз вектор-функциялардың векторлық көбей тіндісі 
үзіліссіз вектор-функция.
Енді вектор-функцияларды дифференциалдау ережелеріне 
тоқ  тайық.
Туындының 
)
(
t
r
′
 белгілеуімен қатар, 
dr
dt
 белгілеуін қол-
данамыз.
Теорема 1.5
.
 
Векторлар қосындысының туындысы қосылғыш-
тардың туындыларының қосындысына  тең, яғни
{
}
d
da( t ) db( t )
a( t ) b( t ) ....
...
dt
dt
dt
+
+
=
+
+
    (1.16)
Теңдеудің дəлелдеуін келесі теңдіктен алуға болады:
{
}
{
}
.....
)
(
)
(
...
....
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
+
−
−
+
−
−
=
−
+
+
−
+
+
t
t
b
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
Бұған қоса 1.3-теорема жəне 1.5-анықтаманы пайдалану ке-
рек.
Теорема 1.6
.
 Скаляр функцияның вектор-функцияға көбейтін-
дісінің туындысы 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
t
a
t
m
t
a
t
m
t
a
t
m
′
+
′
=
′
                 (1.17)
формуласы бойынша есептелінеді.
Теореманың дəлелдемесі
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
a
t
a
t
m
a
t
t
m
t
m
t
t
a
m
t
a
t
m
−
−
+
−
−
=
−
−
тендігі негізінде алынады.
Салдар
.
 Векторлы немесе скалярлы тұрақты көбейткішті 
туынды белгісінің сыртына шығарып алуға болады, яғни 
const
c
const
=
=
,
λ
 болғанда

12
      
(
)
(
)
d
da( t )
d
dm( t )
a( t )
,
m( t )c
c
dt
dt
dt
dt
λ
λ
=
=
      (1.18)
Теорема 1.7
.
 Вектор-функциялардың скаляр жəне векторлық 
көбейтінділерінің туындысы төмендегі формулалар арқылы 
есептеледі:
 
 
( )
d
da
db
a,b
,b
a,
dt
dt
dt




=
+

 


 

,                              (1.19)
 
 
(
)
d
da
db
a b
b
a
dt
dt
dt




×
=
×
+
×

 


 

Бұл теореманың дəлелдемесі төмендегі 
(
) (
)
a t b t
a b
a t
a
b t
b
b t
a
t t
t t
t t
0
0
0
0
0
0
0
0
( ), ( )
,
( )
( )
, ( )
,
,
−

 

−
−
=
+

 

−
−
−

 

0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
b
t
b
a
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
−
−
×
+
×
−
−
=
−
×
−
×
теңдіктерінен шығады.
Теорема 1.8
.
 1) 
t
 = 
t
(
s
) скаляр функциясының қайсібір 
s
=
s
0
 
нүктесінде 
)
(
0
s
t
t
s
′
=
′
 туындысы болып; 2) 
)
(
t
r
r
=
 вектор-
функцияcының сəйкес 
0
0
)
(
t
s
t
=
 нүктесінде 
)
(
0
/
t
r
r
t
′
=
 туындысы 
болсын. Сонда күрделі 
)
(
0
t
r
r
t
′
=
 вектор-функцияcының 
s = s
0
 
нүктесіндегі туындысы 
)
(
t
r
 жəне 
)
(
s
t
 функциялары туынды-
ларының көбейтіндісіне тең, яғни 
( )
( )
/
/
/
s
t
s
t
r
s
t
r
⋅
=
                               (1.20)
Теореманың дəлелдемесі

13
( )
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
s
s
s
t
s
t
t
t
t
r
t
r
s
s
s
t
r
s
t
r
−
−
⋅
−
−
=
−
−
теңдігінен шығады, мұнда 
( )
0
0
s
t
t
=
.
Бұл теорема скаляр айнымалыны ауыстырғанда вектор-
функ 
ция туындысының бағыты өзгермейтінін, ал ұзындығы 
өзгеретінін көрсетеді. 1.5 - 1.8 теоремаларынан вектор-функция-
ларды дифференциалдаудың негізгі ережелері скаляр функ-
циялардың сəйкес ережелерімен беттесетіндігі шығады. Аралас 
көбейтіндінің туындысы
(
) (
) (
) (
)
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
′
+
′
+
′
=
′
,
,
,
,
,
,
,
,
              (1.21)
формуласы бойынша есептеледі.
Дербес туындыларды есептеу ережелері мен формулалары 
кəдімгі анализдегідей. Оларға мынадай белгілеулер қолданамыз
(
) ( )
,
,
,
lim
0
u
u
r
u
r
u
v
u
r
v
u
u
r
=
∂
∂
=
∆
−
∆
+
→
∆
           (1.22)
                
(
) ( )
.
,
,
lim
0
v
v
r
v
r
r
v
u
r
v
v
u
r
=
∂
∂
=
∆
−
∆
+
→
∆
Теорема 1.9
.
 
( )
t
r
 вектор-функциясының үзіліссіздігі мен 
дифференциалдануының қажетті жəне жеткілікті шарты оның 
x
 = 
x
(
t
),  
y = y
(
t
),  
z = z
 (
t
)
координаталарының үзіліссіздігі мен дифференциалдануында.
Дəлелдеме
.
 Жеткіліктілікті дəлелдейік. 
x = x
(
t
), 
y = y
(
t
), 
z = z
(
t
) 
скаляр функциялары үзіліссіз (дифференциалдамалы) болсын, 
онда қосынды мен көбейтіндінің үзіліссіздігі (дифференциалда-
ну)  қасиеттерінен
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
вектор-функциясы үзіліссіз (дифференциалдамалы).

14
Қажеттілік
.
 
( )
t
r
 вектор-функциясы үзіліссіз (дифференци-
алдамалы) болсын. Скаляр көбейтіндісінің үзіліссіз (дифферен-
циалдамалы) болу қасиетінен
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
k
t
r
t
z
j
t
r
t
y
i
t
r
t
x
,
,
,
,
,
=
=
=
координаталарының да үзіліссіз (дифференциалдамалы) болатын-
дығы шығады. Теорема дəлелденді.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: