§4. Вектор-функция туындысының геометриялық

15
(
) ( )
t
t
r
t
t
r
∆
−
∆
+
                               (1.23)
векторы 
1
MM
  векторына параллель, атап айтқанда, хордамен 
бағыттас. Енді 
t
∆
 нөлге ұмтылсын. 
( )
t
r
 вектор-функциясы 
үзіліссіз болғандықтан
(
) ( )
{
}
0
lim
0
=
−
∆
+
→
∆
t
r
t
t
r
t
,
яғни 
ММ
1
 хордасының ұзындығы 
0
→
∆
t
 жағдайында нөлге 
ұмтылады. Демек 
0
→
∆
t
 болғанда, 
М
1
 нүктесі 
М
 нүктесіне 
ұмтылады. Сондықтан вектор-функция үзіліссіздігі оның 
келбетінің үзіліссіз болуымен сипатталады.
t
∆
 нөлге ұмтылғанда (1.23) векторы 
( )
t
r
′
 туындысына ұмтылады, 
ал 
М
1
 нүктесі келбет бойымен 
М
 нүктесіне ұмтылады. 
ММ
1
 
қиюшысы кеңістікте 
М
 нүктесін айнала өзінің шектік орналасуы-
на - 
( )
t
r
′
 векторына параллель болатын 
MN
 түзуіне ұмтылады 
(6-сурет).
ММ
1
 қиюшысының 
MN
 шектік орналасуы сызықтың 
М 
нүк-
тесіндегі 
жанамасы
 деп аталатыны мəлім. Сонымен төмендегідей 
тұжырым дəлелденді.
Теорема 1.10
.
 Егер 
t
 аргументінің берілген мəнінде 
( )
t
r
 
вектор-функциясының 
( )
t
r
′
 туындысы бар болып, нөлден 
өзгеше болса, онда ол берілген нүктеде осы функция келбетінің 
жанамасына параллель.
Екі аргументті 
( )
v
u
r
r
,
=
 вектор-функциясының 
u
r
∂
∂
 дербес 
туындысының да қарапайым геометриялық мағынасы бар. Оның 
есептелуі 
0
v
const
v
=
=
 болғанда, бір u айнымалыға тəуелді 
( )
0
,
v
u
r
r
=
 функция келбеті үшін жүреді. Бұл келбет, əрине, 
( )
v
u
r
,
 функция келбеті болып келетін бетте орналасатын кейбір 
L
 сызығы.

16
u
r
∂
∂
 туындысының өзі 
L
 сызығының жанамасына параллель 
(бұл сызықты «
u
» сызығы немесе «
v
 = 
const
 сызығы» деп атайды). 
Осыған ұқсас 
v
r
∂
∂
 туындысы «
v
 сызығының» немесе «
u
 = 
const
 
сызығының» жанамасы болып келеді.
§5. Вектор-функция үшін Тейлор формуласы
T
t
T
≤
≤
0
 аралығында жеткілікті дифференциалданатын 
( )
t
r
r
=
 век тор-функциясын қарастырайық. Оны əрдайым
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
түрінде жіктеуге болады. Мұнда 
x, y, z
 - 
r
 векторының бекітілген 
k
j
i
,
,
 базисіне қатысты координаталары. 1.9. теоремасы бойынша 
x = x
(
t
), 
y = y
(
t
), 
z =
 
z
(
t
) скаляр функциялары - жеткілікті дəрежеде  
дифференциалданатын функциялар болып келеді. Оларға Тейлор 
формуласын қолданып, мынадай жіктемелерге келеміз:
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
.....
!
2
1
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
x
n
t
t
x
n
t
t
x
t
t
x
t
x
t
t
x
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
′
+
=
∆
+
−
−
(
) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
y
n
t
t
y
n
t
t
y
t
t
y
t
y
t
t
y
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
′
+
=
∆
+
−
−
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
z
n
t
t
z
n
t
t
z
t
t
z
t
z
t
t
z
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
′
+
=
∆
+
−
−
мұндағы 
t
*
, 
t
**
, 
t
***
 мəндері 
t
 жəне 
t
t
∆
+
 аралығында жатады, 
жалпы, бір-бірінен өзгеше.
Жазылған теңдіктердің біріншісінің екі жағын 
i
 векторына 
көбейтіп, екіншісінің екі жағын 
j
 векторына көбейтіп, үшінші 
теңдіктің екі жағын 
k
 векторына көбейтіп, шыққан теңдіктерді 
мүшелеп қоссақ

17
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
n
n
n
n
n
n
n
x t
t i
y t
t j
z t
t k
x t i
y t j
z t k
x t i
y t j
z t k
t
x t i
y t j
z t k
t
x
t i
y
t j
z
t k
t
n
x
t i
y
t
j
z
t
k
n
2
1
1
1
1
*
**
***
1
...
2!
1
...
1 !
1
!
−
−
−
−
+ ∆
+
+ ∆
+
+ ∆
=
+
+
+
+
+
+
∆ +
+
+
∆ +
′
′
′
′′
′′
′′
+
+
+
∆
+
−
+
+
+
немесе
(
) ( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
n
n
n
n
t
q
n
t
t
r
n
t
t
r
t
t
r
t
r
t
t
r
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
+
=
∆
+
−
−
!
1
!
1
1
......
!
2
1
1
1
2
/
   
         (1.24)
теңдігіне келеміз. Мұнда
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
q
x
t i
y
t
j
z
t
k
*
**
***
=
+
+
.      (1.25)
Біздің болжауымыз бойынша, 
x
(
t
), 
y
(
t
), 
z
(
t
) функциялары 
өздерінің туындыларымен бірге 
T
t
T
≤
≤
0
 аралығында үзіліссіз 
болғандықтан, бұл аралықта олар 
t
-ның барлық мəндерінде 
шектеулі келеді. Ал 
n
q
 векторының координаталары кез келген 
t
*
, 
t
**
, 
t
***
 мəндерінде шектеулі болса, бұл вектордың модулі де 
шектеулі шама болып келеді, атап айтқанда 
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
n
n
n
n
n
C
t
z
t
y
t
x
q
≤
+
+
=
2
*
*
*
2
*
*
2
*
]
[
|
|
   (1.26)
Мұнда 
С
n
 cаны - [
T
0
, 
T
] аралығынан алынған кез келген 
t 
жəне 
t
t
∆
+
 мəндеріне бірдей тұрақты оң шама.
Демек (1.24) формуласындағы соңғы мүше модулінің кішілік 
реті 
n
 - нан кем емес. Кəдімгі анализдегі Тейлор формуласынан 
өзгешелігі - 
n
q
 векторы 
( )
t
r
 вектор-функциясының 
[
]
t
t
t
∆
+
,
 
аралығында жататын кейбір 
t
0
 мəнінде есептелген 
n
 -ші ретті 
туындысы болмайды.
2–454

18
§6. Вектор-функция дифференциалы
Вектор-функция дифференциалы ұғымын енгізу үшін 
( )
t
r
 
вектор-функциясын қарастырып, ол үшін 
n
 = 2 болғанда Тейлор 
формуласын жазайық:
(
) ( )
( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
∆
+
∆
′
+
=
∆
+
Мұнан
(
) ( )
( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
r
∆
+
∆
′
=
−
∆
+
=
∆
            (1.27)
Бұл формуланың қызық геометриялық мағынасы бар.
(
) ( )
t
r
t
t
r
r
−
∆
+
=
∆
 векторы берілген 
М
 нүктесін 
( )
t
r
 вектор-
функциясы келбетінің жақын 
М
1
 нүктесімен қосатын 
1
MM
 
векторымен беттеседі. 
( )
t
t
r
M
M
∆
′
=
′
 векторы келбеттің 
М
 
нүктесіндегі жанамасына параллель жəне 
( )
t
r
 вектор-функ циясы 
өсімшесінің «сызықтық бөлігі» болады (7-сурет). 
2
2
2
1
/
t
q
M
M
∆
=
 
векторы - шексіз кіші вектор. Оның модулі - аргументтің Δ
t
 
өсімшесімен салыстырғанда - шексіз кіші шама.
Сонымен, келбеттің жақын нүктелерін қосатын 
1
MM
  век-
торы жанамамен бағытталған жəне 
t
 аргументінің өсімшесіне 
пропорционал 
M
M
′
 векторы мен Δ
t
-мен салыстырғанда модулі 
жоғары ретті шексіз кіші шама болатын 
1
M
M
′
 векторының 
қосындысына тең.
1.6-анықтама. 
( )
t
t
r
M
M
∆
′
=
′
 векторы 
( )
t
r
 вектор-функ-
циясы 
r
∆
 өсімшесінің басты сызықтық бөлігі немесе 
( )
t
r
 
вектор-функциясының дифференциалы деп аталады
.
r
 вектор-функциясы дифференциалын 
r
d
 арқылы белгілейді. 
Анықтама бойынша

19
( )
dr
r t dt
= ′
,                                (1.28)
мұнда 
t
 аргументінің 
dt
 дифференциалы, əдеттегідей оның 
өсімшесімен беттеседі. Бұдан 
( )
dr
r t
dt
=
′
 
белгілеуінің мағынасы ашылады: 
( )
t
r
′
 туындысы 
d
r
 дифферен-
циалын 
1
dt
 скалярға көбейткенге тең.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: