Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

144
2. Дифференциалдық теңдеудің шешімін болдыратын
 кез келген
 
( )
п
х у у
у
1
/
0
0
0
0
, , ,...,
−
  бастапқы  мəндері  үшін  
(
)
п
x c c
c
у
0
1
2
0
, , ,...,
,
ϕ
=
ɶ ɶ
ɶ
  
(
)
п
x c c
c
у
0
1
2
0
, , ,...,
,
ϕ
=
′
′
ɶ ɶ
ɶ
 
(
)
п
x c c
c
у
0
1
2
0
, , ,...,
,
ϕ
=
′′
′′
ɶ ɶ
ɶ
 ... ,
 
( )
(
)
( )
п
п
п
x c c
c
у
1
1
0
1
2
0
, , ,...,
ϕ
−
−
=
ɶ ɶ
ɶ
 бастапқы
 
шарттары орындала тын-
дай 
п
п
c
c c
c c
c
c
c
1
1
2
2
3
3
,
,
,...,
=
=
=
=
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
 тұрақтылары табылады.
Айқындалмаған түрде берілген теңдеу шешімін оның 
жалпы 
интегралы
 дейді. Егер (4.89) дифференциалдық теңдеудің жал-
пы шешімін кескіндейтін 
(
)
п
y
x c c c
c
1
2
3
, , , ,...,
ϕ
=
 функциясындағы 
п
c c c
c
1
2
3
, , ,...,
 тұрақтыларының орнына сандық мəндер қоятын 
болсақ, ондай (4.89) теңдеуінің шешімдерін теңдеудің 
дербес 
шешімдері
 деп айтады. 
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдау 
есебі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдау 
есебіне қарағанда анағұрлым күрделі жəне көптеген жағдайда 
ондай теңдеуге келтіріле бермейді. Сонда да 13 - 19 пара-
графтар аралығында қарастырылатын сызықтық теңдеулерді 
есепке алмағанда, жоғары ретті теңдеулердің өзге түрлерін 
интегралдаудың негізгі əдісі болып 
теңдеу ретін төмендету
 
əдісі, атап айтқанда, айнымалыларды ауыстыру арқасында 
берілген теңдеуді реті төмен теңдеуге келтіру əдісі табылады. 
Теңдеу ретін төмендету тіпті ақырлы түрде интегралданбайтын 
бірінші ретті теңдеуге келтіретін жағдайда немесе реті бірден 
жоғары теңдеуге келтіретін жағдайда да тиімді. Алайда теңдеу 
ретін төмендету қашан да жүзеге аса бермейді. Төменде ретін 
төмендетуді мүмкін ететін кейбір теңдеу түрлері қарастырылады.
§17. Ретін төмендетуді мүмкін ететін теңдеу түрлері
17.1
. 
п-ретті y
(n)
= f(x) дифференциалдық теңдеу 
ретін тө мендету
Ретін төмендетуді мүмкін ететін 
п-
ретті теңдеудің қара- 
пайым түрі
y
(n)
 = 
f
(
x
).                                     (4.92)

145
Мұнда теңдеу реті тікелей тізбекті интегралдау арқылы тө-
мендейді. (4.92) өрнектен бастапқыда 
y
(n-1)
= ∫f(x)dx + C
1
болатыны шығады. Осылайша, қажетіне қарай бірнеше рет ин-
тегралдау нəтижесінде (4.92) теңдеуінің жалпы шешімін таба-
мыз, оның өзінде еркін тұрақтылар (
п - 
1) дəрежелі көпмүше 
коэффициенттері ретінде шешімге енеді.
Мысал
. 
у
x
x
sin
cos
=
−
′′′
 теңдеуін шешу талап етілсін.
Шешімі
. 
Теңдеудің екі жағын 3 мəрте интегралдағаннан, 
тізбекті түрде 
у
x
x
С
у
x
x
С x С
у
x
x С x
С х С
1
1
2
2
1
2
3
cos
sin
2 ,
sin
cos
2
,
cos
sin
′′ = −
−
+
′ = −
+
+
+
=
+
+
+
+
болатынын шығарып аламыз. Мұндай теңдеулердің түрінің 
қарапайымдылығына қарамастан маңызы зор, өйткені оған өзге 
түрдегі
 
теңдеулер келтіріледі, екінші жағынан осы түрге бірқатар 
«Материалдар кедергісі» пəнінің есептерін шешкенде пайда 
болатын
 
кейбір теңдеулер жатады. Мұндай есептерді кейінге 
қалдырып, əзірше ретін төмендетуді мүмкін ететін теңдеудің 
өзгеше бір түрін қарастырайық. 
17.2. 
(
)
k
k
п
F х у
у
у
( )
(
1)
( )
,
,
,...,
0
+
=
 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: