258
Қосымшалар
1. Нүктенің полярлық координаттардағы қозғалысы
, полярлық координаттарымен алынған жазықтықтағы А нүктесінің
орны, егер оның О санақ басынан қашықтығы жəне нүктенің радиус-
векторы мен таңдап алынған ОО΄ бағыттың арасындағы бұрышы берілген
болса, анықталған болып есептеледі.
Қозғалыстағы А нүктемен байланысқан жəне 1 а) суретте
көрсетілгендей сəйкес түрде жəне координаттардың арту бағытында
бағытталған бірлік векторларды - жəне
орттарды кіргіземіз. жəне
орттардың декарт жүйесі координаттарының орттарынан айырмашылығы –
бұлар жылжымалы. (А нүктенің қозғалысы кезінде олар өздерінің бағытын
өзгертіп отырады). Олардың уақыт бойынша туындыларын табайық. А
нүктенің қозғалысы кезінде
dt уақыт аралағында екі орт та бір бағытта бір
ғана
бұрышқа бұрылады да,
1-сурет
1
·
1
·
.
өсімшелерін алады (К1, б-сурет). Осы екі өрнекті де
уақытқа бөлеміз,
сонда
˙
·
.
мұндағы символдардың үстіндегі нүкте уақыт бойынша дифференциалдауды
білдіреді.
Енді А нүктесінің жылдамдығы мен үдеуін табуға болады, егер оның -
радиус-векторын келесі түрде жазатын болсақ
259
.
(2)
Нүктенің жылдамдығы v. (1) өрнекті ескере отырып, (2)-өрнекті уақыт
бойынша дифференциалаймыз
v
ρ
ρ
.
(3)
яғни вектордың жылжымалы
жəне
орттарға проекциялары тең
болады:
v
ρ
ρ ˙,
(4)
ал жылдамдық векторының модулі:
˙ .
Нүктенің үдеуі a. (3)-теңдеуді тағы уақыт бойынша дифференциалап,
келесі өрнекті табамыз:
ρ
ρ
ρ
ρ
.
(1) ді ескере отырып, осы теңдеуді түрлендіреміз, сонда
2
,
(5)
яғни, a вектордың жəне
орттарындағы проекциялары:
ρ
ρ
2
.
(6)
Полярлық координаттардағы динамиканың негізгі
теңдеуі. Динамиканың
негізгі теңдеуінің
жылжымалы жəне
орттарындағы проекцияларын
(6) формулаларды пайдалана отырып жеңіл табуға
болады:
,
m
ρ φ
,
(7)
мұндағы жəне вектордың жəне
орттарындағы проекциялары (2-
сурет)
Бұл суретте
0, a
0 .
2-сурет
260
2. Кеплер есебі
Кеплер есебі деп бөлшектің өріс центріне дейінгі қашықтықтың
квадратына кері пропорционал өшіп отыратын күштердің центрлік өрісіндегі
қозғалысы жайлы есепті айтады. Бұл заңға нүктелік массалардың немесе
сфералық симметриясы бар денелердің арасындағы ньютондық тартылыс
күштері жəне нүктелік зарядтың арасындағы кулондық күштер бағынады.
Мұндай өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы
/ ,
мұндағы
тұрақты; – күш центрінен қашықтық.
0 болатын жағдайды, яғни массасы m бөлшекке
əсер ететін күштің өріс центріне бағытталатын
жағдайды (тартылыс) қарастырамыз. Егер
0
кезінде
0
ал жылдамдық радиус векторға
перпендикуляр жəне
v болатын кезде бөлшектің
полярлық координаттардағы
траекториясы қандай
болады?
Бұл есепті шешу үшін көбіне энергияның жəне
импульс
моментінің
сақталу
заңдарын
пайдаланады.
Полярлық
координаттарда бұл сақталу заңдары мына түрге келеді:
;
мұндағы, E жəне L бөлшектің толық механикалық энергиясы жəне бөлшектің
өріс центрі – O нүктесіне қатысты анықталған импульс моменті. Бұл екі
шаманы да бастапқы шарттардан жеңіл табуға болады.
Бұл теңдеулердің шешу жолы келесі түрде іске асады. Əуелі бірінші
теңдеуді
уақыт
бойынша
дифференциалданудан
бойынша
дифференциалдауға көшеді, мұны екінші теңдеудің көмегімен орындайды.
dt
/
содан кейін
, айнымалаларын ажыратады, яғни алынған
өрнекті
түріне келтіреді. Сосын барып, бұл теңдеуді бастапқы
шарттарды ескере отырып, интегралдайды. Интегралдау нəтижесінде іздеп
отырған
шешімді береді.
Бұл теңдеудің толық шешімі теориялық механиканың кез келген
курсында келтіріледі. Сондықтан біз бұл жерде ең маңызды - алынған
шешімнің физикалық мағынасын талдаумен шектелеміз. Шешімінің түрі:
/
1
.
мұндағы,
/
3-сурет
261
Математикалық (1)-түрдегі теңдеу екінші ретті қисықты сипаттайды.
Параметрдің мəніне тəуелді бұл теңдеу эллипсті (шеңберді), параболаны
немесе гиперболаны береді.
1.
1 кезінде шамасы бұрышқа тəуелсіз, яғни траектория
шеңбер болып табылады.
Мұндай траектория бөлшектің жылдамдығы болатын кезде болады.
/
.
2. – қашықтық
мəніне дейін шектеулі болып қалатын
параметрдің мəндері кезінде траекторияның түрі эллипс болады.
кезінде (1)-ден болатындығы шығады.
/ 2
1 .
Осыдан көріп отырғанымыздай
тек 2
1 кезінде ғана, яғни
v
v
п
болатын кезде ғана шектеулі болады екен, мұндағы
v
п
2 /
.
(3)
3. Егер
2
1, яғни v
v
п
болса, онда эллипс
параболаға айналады, бөлшек қайтып оралмайды.
4.
v
0 кезінде траектория түрі гипербола
болады.
Бұл жағдайлардың барлығы да 4-cуретте
көрсетілген. Эллипстік орбиталар үшін өріс центрі
элипстің фокустарының біреуімен бірдей түседі:
v
v кезінде – артқы фокуспен, ал v
v кезінде
– алдыңғы фокуспен .
3. Штейнер теоремасы
Т е о р е м а: Еркін О өсіне қатысты қатты дененің инерция моменті
– мəлім С өске параллель жəне дене массасының центрінен өтуші өске
қатысты
ингерция моменті мен дененің массасының өстер аралық
қашықтығы квадратының көбейтінділерін қосқандағы шамаға тең.
.
4-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
