Законы 10-е издание москва

85 
 
4-тарау 
Энергия сақталу заңы 
 
 
 
§ 4.1. Жұмыс пен қуат
 
Жұмыс  
F күштің əсерінен қандай да бip бөлшек 1 - 2 траектория бойымен орын 
ауыстыратын  болсын (4.1-сурет).  Жалпы  алғанда  F  күші  бөлшектің 
қозғалысы  кезінде  модулі  жағынан  да,  бағыты  жағынан  да  өзгеpyi  мүмкін. 
Күшті тұрақты деп есептеп,  dr қарапайым  орын ауыстыруды қарастырайық. 
dr – oрын  ауыстырудағы  F  күштің  əсерін  скаляр  көбейтіндіге  тең 
шамамен  сипаттап,  оны  орын  ауыстырудағы  F  күштің  қарапайым  жұмысы 
деп атайды. Оны басқаша да өрнектеуге болады: 
d
cos
 . 
Мұндағы,   -   жəне 
d  векторларының арасындағы 
бұрыш; 
d –қарапайым  жол; 
  дегеніміз  - 
вектордың 
d  векторға проекциясы (4.1-сурет). 
Сонымен, 
 –  күштің  d  –  орын  ауыстырудағы 
қарапайым жұмысы келесі өрнекпен анықталады: 
d
.   
          (4.1) 
 
 – алгебралық  шама:    жəне 
d   векторлардың  арасындағы  бұрышқа 
тəуелді  түрде  (   вектордың 
 d   векторға  проекциясының 
  таңбасына 
тəуелді түрде) ол оң да, теріс те, тіпті нөл де бола алады. (
 d  нөл болса, яғни 
0 ). 
(4.1)  өрнекті  жолдың 1 нүктеден 2 нүктеге  дейін  барлық  қарапайым 
бөліктер  бойынша  қөсындылап  (интегралдап), 
 –  күштің  oсы  жол 
бойындағы жұмысын табамыз: 
d
d .   
 
 
(4.2) 
Осы жерде өте бір маңызды жағдайды айта кету керек: (4.2) формуланы 
тек  қана  бөлшектер  үшін  ғана  емес  сонымен  қатар  кез  келген  денелер 
4.1-сурет 

86 
 
немесе  денелер  жүйелері  үшін  де  пайдалануға 
қолайлы.  Ал 
    күштің  жұмсалуына  байланысты 
d  немесе d   деп  нүктенің  орын  ауыстыруын 
айтады.  Осы  жағдайларды  елемеу  көбінесе  қате 
нəтижелерге  əкеп  соқтырады. (4.2) өрнекке 
геометриялық мағына беруге болады.   графигін 
бөлшектің  траекториядағы  орнының  функциясы 
ретінде  қарастырайық.  Бұл  графиктің  түрi 4.2-
суретте  келтірілген.  Осы  суреттен 
  қарапайым  жұмыс,  сан  мəні  жағынан 
шималанған жолақтың ауданына тең екені, ал 1 нүктедеп 2 нүктеге дейін жол 
бойындағы  жұмыс –    қисықпен, 1 жəне 2 ординаталармен,  ал  -  өсімен 
шектелген  фигураның  ауданына  тең  екені  көрініп  тұр. Oсы  кезде    өсінен 
жоғарығы  фигураның  ауданы  оң  таңбамен  алынады  (ол  оң  жұмысқа  сəйкес 
келеді),    өсінен  төменгі  фигураның  ауданы  минус  таңбамен  алынады  (ол 
тepic жұмысқа сəйкес келеді). 
 
Серпімді күштің жұмысы 
Серпімді күштің жұмысы келесі формуламен анықталады:  
. 
мұндағы,   – M бөлшектің О нүктесіне қатысты радиус-векторы (4.3a). Осы 
күш  əсер  етіп  түрған  M    бөлшегін 1 нүктеден 2 нүктеге  кез  келген  түрде 
орын ауыстырайык. Əуелі 
 қарапайым орын ауыстыру кезіндегі F күштің 
қарапайым жұмысын аныктайык 
. 
d
 – бұл  сқалярлық  көбейтінді,мұндағы  dr  вектордың  r  – 
векторға  түсірілген  проекциясы  -
деп  белгіленеді.  Бұл  проекция  r 
вектордың dr өсімшесінің модуліне теңболады. Сондықтан 
d
жəне 
/2 . 
Енді  берілген  күштің  түгел  жол  бойындағы  жұмысын  есептеп 
шығарайық, яғни соңғы теңдікті 1 нүктеден 2 нүктеге дейін интегралдаймыз.  
 
 
 
 
d
.  
 
        (4.3) 
 
4.2-сурет 

87 
 
Гравитациялық (немесе кулондық) күштің жұмысы 
O  нүктесінде  қозғалмайтын  күш  центрі  орналасқан.  Күш  центрі 
дегеніміз –    күшімен  М  бөлшекке  əсер  ететін  материалдық  нүкте.  Осы 
материалдық  нүкте  үшін  гравитциялық  жəне  кулондық  күштердің 
формуласын келесі түрде келтіруге болады: (4.3, б-сурет)  
 
/
, 
 
мұндағы:   – гравитациялық өзара əрекеттесу  (
)  немесе  (k
);  – 
О нүктесінен М бөлшекке дейінгі арақашықтық;   –   – радиус-векторының 
орты; 
 
 
4.3-сурет 
 
Əуелі oсы 
 – күштің   – орын ауыстыру кездегі қарапайым жұмысын 
есептептейік. 
 
d
/
d  
 
d
d   скалярлық  көбейтінді,  яғни  rвекторы  модулінің  өсімшесі, 
сондықтан: 
/  
 
M  бөлшекті 1 нүктеден 2 нүктеге кез келген жолмен орын ауыстырған 
кезде F гравитаңиялық (кулондың) күштің атқаратын жұмысын табайық. 
 
.  
 
 
        (4.4) 
 

88 
 
Біртекті ауырлық күшінің жұмыс 
Бұл  күшті 
g   түрінде  жазамыз;  мұндағы  k  вертиқаль  Z  өстің 
орты,  оның  оң  бағыты  жоғары  қарай  бағытталған (4.4-сурет).  Ауырлық 
күшінің dr орын ауыстырудағы қарапайым жұмысы: 
g
 
d
- cкалярлық көбейтінді, мұндағы 
- dr векторының k 
ортқа  проекциясы,  ол  z  координаттың dz өсімшесіне  тең.  Сондыктан 
d
  жəне 
g
g . 
Сонда 1 нүктеден 2 нүктеге  дейін  жол  аралығындағы  берілген  күштің 
жұмысы: 
d mgz
mg z
z  
                              4..5) 
Осы  күштердің  жұмыстары 1 жəне 2 нүктелер  арасындағы  жолдың 
түріне  тəуелсіз  ол  тек  осы  нүктелердің  орындарына  ғана  тəуелді 
болатындығы 4.4-суретте  жəне (4.3) пен (4.5) 
формулалары арқылы көрнекті сипатталады. 
Берілген  күштердің  бұл  қасиеті  барлық 
күштерге  тəн  емес.  Мысалы,  үйкеліс  күшінің 
мұндай  қасиеті  жоқ:  бұл  күштің  жұмысы 
нүктелердің  бастапқы  жəне  ақырғы  орындарына 
ғана  тəуелді  емес,  сонымен  қатар  олардың 
арасындағы жолдың түріне де тəуелді болады. 
Осы  кезге  дейін  бip  күштің  ғана  жұмысы 
жайлы  сөз  болып  келді  Ал  егер  бөлшектің 
козғалысы  кезінде  оған  бірнеше  күш  əсер  етсе,  онда  корытынды  F  күштің 
кандай  да  бip  орын  ауыстыру  кезіндегі  атқаратын  жұмыстарының  əрбір 
күшінің жеке-жеке осы орын ауыстыру кезіндегі атқаратын жұмыстарының 
алгебралық  қосындысына  тең  болатындығына  жеңіл  көз  жеткізуге  болады. 
Шындығында, да 
 
d
d
d
 (4.6) 
 
СИ жүйесінде жұмыстың өлшем бірлігі ретінде джоуль (Дж) алынады.  
1Дж – 1 м  жолда    (нүктенiң  орын  ауыстыруында) 1Н  күш  жасайтын 
жұмыс (1Дж=1Н
·м). 
4.4-сурет