79
Шығару жолы. 1.
d /d
1
2
яғни вектор əрқашан а векторға
перпендикуляр. Демек, F векторы р векторға
өрнегіндегі b вектордың
коэффициенті нөлге айналатын кезде ғана перпендикуляр болады. Осыдан:
1
0;
0;
1/ ; F − вектордың сəйкес мəндері:
,
.
2. p − вектордың dt уақыт аралығындағы өсімшесі
. Осы теңдеуді
бастапқы шарттарды ескере отырып, интегралдаймыз:
.
мұндағы есептің шарты бойынша
жəне a векторлары өзара қарама-қарсы. Олай
болса,
тең болғанда p векторы
векторға
сəтінде перпендикуляр
болады. Осы кезде
/
.
3.2. Массасы m зеңбірек горизонтпен бұрыш жасайтын көлбеу жазықтықпен сырғанап
келеді. Қарудың сырғанау жылдамдығы v болған кезде одан снаряд атылады, соның
нəтижесінде қару тоқтап, горизонталь бағытта осы
ұшып шыққан снаряд р импульсіне ие болады. Атылу
ұзақтылығы болса. Көлбей жазықтық тарапынан
болатын осы уақыт аралығында R реакция күшінің
орташа мəнін табу керек.
Шығару жолы. Бұл жерде қару-жарақ жүйесі
уақыт аралығында
болатын импульс өсімшесін
алады. Жүйе импульсінің өзгерісі екі сыртқы күштің
əсерінен туады: R реакция күші (ол көлбеу жазықтыққа
перпендикуляр) мен mg ауырлық күші арқылы, сондықтан
.
мұндағы
−R- вектордың уақыттағы орташа мəні. Бұл қатынасты график түрінде
берген ыңғайлы (3.6-сурет). Сурет арқылы іздеп отырған
мəннің формуласын
анықтауға болады:
sin
cos
/ .
3.3. Импульс сақталу заңы. Əрбіреуінің массалары M-ге тең екі арба бірінен соң бірі
инерция бойынша (үйкеліссіз) бірдей жылдамдықпен
қозғалып келеді. Артқы
арбада массасы m-ге тең адам отыр. Бір мезгілде адам өзінің отырған арбасымен
салыстырғанда u-жылдамдықпен артқы арбадан кенет алдыңғы арбаға секіреді. Осы
себепті алдыңғы арбаның жылдамдығы қалай өзгереді?
Шығару жолы. Адам 1-ші арбадан 2-ші арбаға кенет секіргенде жүйенің барлық
импульсі өзгермейді, сондықтан келесі теңдеуді келтіруге болады:
2
мұндағы, - мен – арбаның түпкі жылдамдықтары.
3.6-сурет
80
Сол сияқты импульс балансын адамы бар артқы арба үшін де жазамыз (адамның
секіргенге дейінгі жəне секіргеннен кейінгі жағдайлары үшін):
мұндағы,
− жолдың бетімен салыстырғандағы секірген адамның
жылдамдығы.
Осы екі теңдеуден төмендегі өрнек шығады:
3.4. Тыныштықта тұрған массасы М арбаның шетінде əрбіреуінің массалары m-ге тең екі
адам түрегеліп тұр. Егер арбаға қатысты горизонталь жылдамдықпен екі адам да
арбадан секіретін болса: 1) бірге секірсе; 2) бірінен соң бірі секірсе, онда осы шартты
орындай отырып,үйкелісті ескермей,адамдар секіріп түскеннен кейінгі арбаның
жылдамдығын табу керек. Осы екі жағдайдың қайсысында арбаның жылдамдығы
артады жəне артса неше есе?
Шығару жолы. 1. Импульс сақталу заңы бойынша:
2
0.
мұндағы,
- арбаның жылдамдығы,
– адамның жылдамдығы (екі
жылдамдық та жолдың бетіне қатысты). Осыдан:
2
2
2. Бұл шарт үшін екі теңдеуді келтіруге болады. Бір адам секірген кездегі теңдеудің
түрі:
0.
мұндағы,
- екінші адам қалғандағы арбаның жылдамдығы. Енді екінші адам
секірген жағдай үшін теңдеудің түрі:
"
"
.
мұндағы,
"- бос арбаның жылдамдығы.
Соңғы екі теңдеуден -ны шегеріп тастап келесі өрнекті аламыз:
"
2
3
2
Сонымен екі жағдайлар үшін олардың жылдамдықтарының қатынасы келесі
өрнекпен сипатталады:
"
1
1.
3.5 Масса центрі. Блок арқылы жіп асылған. 3.7-суретте көрсетілгендей оның бір ұшында
A адамы бар баспалдақ, ал екінші ұшын массасы М-ге тең жүк теңгеріп тұр. Массасы
m болатын адам баспалдаққа қатысты
∆ орын ауыстырады да, сосын тоқтайды.
81
Блоктың жəне жіптің массасын, блоктың өсіндегі үйкелісті
ескермей, осы жүйенің инерция центрінің орын ауыстыруын табу
керек.
Шығару жолы. Басында жүйенің барлық денелері тыныштықта
болды, сондықтан денелер импульстерінің өсімшесі импульстердің
өздеріне тең. Блок өстерімен байланысқан санақ жүйелерінде жүйе
массалар центрін радиус-векторлар сипаттайды:
/2 .
мұндағы,
, ,
– массалар центрін теңестіріп тұратын жүктің,
адамның жəне баспалдақтың радиус-векторлары – бəрі де таңдап
алынған санақ жүйесіндегі қайсыбір О нүктесіне қатысты алынады. Осыдан масса
центрінің орын ауыстыруы келесі өрнекпен сипатталады:
∆
∆
∆
∆
/2
мұндағы,
∆ , ∆ , ∆ − жүкті, адамды жəне баспалдақты теңестірудегі орын
ауыстыру. Енді келесі шарттарды орындай отырып, төменгі теңдеулерді аламыз:
∆
∆ , ∆
∆
∆ .
Нəтижесінде келесі өрнек шығады:
∆
/2
∆ .
Сонымен барлық жүйенің масса центрінің орын ауыстыруының бағыты баспалдаққа
қатысты адамның орын ауыстыруына сəйкес, яғни алынған нəтиже адамның
қозғалыс сипатынан тəуелсіз.
Ескерту. Сырттай қарағанда берілген жүйе тұйық тəрізді, яғни барлық сыртқы
күштерді теңгеретін қорытынды күш нөлге тең деген сөз. Жəне жүйенің массалар
центрі орнын ауыстырмауы тиісті. Алайда іс жүзінде жағдай басқаша туады. Адам
жоғары көтеріле бастағанда төмен қарай бағытталған баспалдаққа қосымша күш
əсер етеді. Осыдан жіптің керілу күші сыртқы күш əсерлерін өсіреді, сыртқы күшке
аспаға қатысты жүйеге əсер ететін күш жатады. Осы сыртқы күш ауырлық күштің
қосындысынан артық болып кетеді. Сондықтан барлық қорытынды сыртқы күш
жоғары қарай бағытталады – осы себеппен барлық жүйенің масса центрі жоғары
қарай ауысады.
3.6. Ц-жүйе. Екі кішігірім шайба массалары
жəне
бір-бірімен ұзындығы l-ге тең
жіппен байланысқан жəне тегіс көлбеу жазықтықпен қозғалады. Белгілі бір сəтте бір
шайбаның жылдамдығы нөлге, ал екіншісінің -ға тең жəне оның бағыты жіпке
перпендикуляр болады (3.8, а-сурет). Қозғалыс барысында жіптің керілу күшін табу
керек.
3.7-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
