92
Өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы
Стационарлық
өрісте
консервативті
күштердің
жұмыстары
бөлшектердің бастапқы жəне ақырғы орындарына ғана тəуелді
болатындықтан енді потенциалдық энергия деген маңызды түсінікті енгізу
мүмкіндігі туады.
Консервативті күштердің стационар өрісінде бөлшек түрлеше
1
P
нүктелерден бекітілген
О нүктеге тасымалдансын. Өріс күштерінің жұмысы
жолдың түріне тəуелсіз болатындықтан, ол енді тек
Р нүктенің орнына ғана
тəуелділігімен сипатталады (О нүкте бекітілген). Бұл дегеніміз, өріс күшінің
A-жұмысы
P
нүктесінің r-радиус-векторының қайсыбір функциясы болып
табылады. Осы функцияны
( )
U r
деп белгілеп, жазуға болады:
d
( )
o
po
P
A
U
F r
r
(4.9)
( )
U r
-функцияны бөлшектің берілген өрістегі
потенциалдық энергиясы деп атайды. Енді бөлшекті 1-
нүктеден 2-нүктеге алып өткенде атқарылатын өріс
күштерінің жұмысын есептеп шығарайық (4.7-сурет).
Жұмыс жолға тəуелсіз болатындықтан, жолды
О
нүктесі арқылы өтетіндей етіп алайық. Сонда 1
О2
жолдағы жұмысты:
12
1
2
1
2
,
O
O
O
O
A
A
A
A
A
немесе (4.9) ескерсек, онда:
2
12
1
2
1
d
A
U
U
F r
(4.10)
Оң жақта тұрған өрнек потенциалдық энергияның кемуін көрсетеді:
яғни жолдың бастапқы жəне ақырғы нүктелеріндегі бөлшектің потенциалдық
энергиясы мəндерінің айырымын көрсетеді.
Сонымен,
өріс күштерінің 1-2-жолдағы жұмысы бөлшектің берілген
өрістегі потенциалдық энергиясының кемуіне тең болады.
О нүктеде орналасқан бөлшекке алдынала потенциалдық энергияның
кез келген мəнін беруге болатындығы анық. Бұл жұмысты есептеу өрістің екі
нүктедегі потенциалдық энергияның абсолют шамасын емес тек олардың
айырымын ғана анықтауға мүмкіндік береді. Бірақ қандай да бір нүктенің
потенциалдық энергиясы нақты анықталған болса, онда өрістің барлық
қалған нүктелеріндегі оның мəні (4.10) формула арқылы бірмəнділікпен
анықталады.
4.7-сурет
93
(4.10) өрнек консервативті күштердің кез келген стационарлық өрісі
үшін
шамасын табуға мүмкіндік береді. Бұл үшін екі нүктенің
арасындағы кез келген жол бойында өріс күштерінің атқаратын жұмысын
есептеп шығарып, оны қайсыбір функцияның кемуі түрінде анықтау керек,
міне, осы функция потенциалдық энергия
болып табылады.
Серпімді жəне гравитациялық кулондық күштер өрістерінде, сонымен
қатар біртекті ауырлық өрісінде жұмыс осылай есептелген болатын
4.3 – 4.5 өрнектерді қара ңыз . Осы өрнектерден берілген күш
өрістеріндегі бөлшектердің потенциалдық энергиясының түрі төмендегідей
болтындығын байқауға болады:
1) Серпімді күш өрісінде:
2
⁄ ;
(4.11)
2) материалдық нүктенің гравитациялық өзара əрекеттесу (кулондық)
өрісінде:
⁄ ;
(4.12)
3) біртекті ауырлық күш өрісінде:
.
(4.13)
– потенциалдық энергия кез келген бір тұрақтыны қосқанға дейінгі
дəлдікпен анықталған функция. Себебі барлық өрнектеріне тек бөлшектің
екі күйіндегі мəндерінің айырымы ғана енген жəне осы жағдайда өрістің
барлық нүктелері үшін бірдей болатын тұрақты шама еске алынбайды. Міне,
сондықтан жоғарыдағы үш өрнекте осы тұрақты шама ескерілмеген.
Тағы бір маңызды жағдай. Потенциалдық энергия бір бөлшекті
сипаттамайды, ол күш өрісін тудыратын өзара əрекеттесетін бөлшектер мен
денелерге қатысты жүйелермен анықталады.
Потенциалдық энергия жəне өріс күші
Бөлшектің өзара қоршаған денелермен əрекеттесуін екі түрлі тəсілмен
сипаттауға болады:
күшпен немесе потенциалдық энергия көмегі арқылы.
Классикалық механикада бұл екі тəсіл де кең қолданылады. Бірінші тəсілдің
қолданыс өрісі кеңірек, себебі оны потенциалдық энергия түсінігін
пайдалануға болмайтын күш жағдайларында да (мысалы, үйкеліс күштер
кезінде) пайдалануға болады, ал екінші тəсіл тек консервативтік күштер үшін
ғана қолданыс табады.
94
Енді потенциалдық энергия мен өріс күшінің арасындағы байланысты
тағайындайық, дəлірек айтсақ өрістегі бөлшектің орнының функциясы болып
табылатын берілген
( )
U r
потенциалдық энергия бойынша
F(r)
өріс күшін
анықтауға талпынайық.
Потенциалдық өрістің бір нүктесінен екінші нүктесіне бөлшекті алып
өткенде өріс күштерінің атқаратын жұмысының бөлшектің потенциалдық
энергиясының кемуіне тең болатындығын көрдік, яғни
12
1
2
A
U U
U
Элементар dr орын ауыстыру үшін де дəл осылай: A
dU
немесе
d
dU
F r
(4.14)
d
d
s
F s
F r
екендігін ескере отырып, мұндағы,
d
|
|
s
d
r
– элементар жол,
s
F
– F вектордың dr орын ауыстыруға проекциясы, (4.14) өрнекті
d
s
F s
dU
,
мұндағы,
dU – dr-дің орын ауыстыру бағытындағы потенциалдық
энергияның кемуі. Осыдан:
/
s
F
U
S
(4.15)
яғни,
s
F
– өріc күшінің
F – вектордың берілген нүктедегі dr орын ауыстыру
бағытына проекциясы, ол
U потенциалдық энергияның теріс таңбамен осы
бағыт бойынша алынған туындысына тең болады.
/ S
дегеніміз – дербес
туынды, ол туындының белгілі бағыт бойынша алынатындығын көрсетеді.
dr орын ауыстыруды кез келген бағытта, мысалы,
X,Y,Z өстері бойында
да алуға болады. Егер, мысалы, dr орын ауыстыруы
X өсіне параллель
болатын болса, онда оны dr = id
x деп жазуға болады, мұндағы i- X өсінің
орты, d
x – x координаттың өсімшесі. Сонда X өсіне параллель болатын dr
орын ауыстыруы кезіндегі F күштің жұмысы формуламен анықталады:
d
d
.
x
x F dx
F r Fi
мұндағы,
x
F
F вектордың і – ортқа проекциясы (F
x
жағдайындағы сияқты
d -дің орын аустыруына емес). Соңғы өрнекті (4.14) салыстырып, келесі
түрде жазамыз:
/
,
x
F
U
x
мұндағы,
/ S
−
дербес
туынды
белгісі
U(x,y,z)
шамасын
дифференциалдаған кезде ол тек жалғыз
x – аргументінің ғана функциясы
екендігін көрсетеді, ал қалған аргументтер дифференциалдау кезінде тұрақты
болып саналады
y
F
жəне
z
F проекциялары үшін де теңдеулердің түрі
z
F
еңдеуіне ұқсас болатыны анық.
Достарыңызбен бөлісу: |
