76
§ 3.5. Массасы айнымалы дененің қозғалысы
Қозғалыс барысында дене массасының затты немесе қосып, немесе
бөліп отыруы нəтижесінде осы массасының үнемі өзгеруі практикада көп
кездеседі (ракета, реактивті ұшақ, жүріп келе жатқанда тиелетін платформа
жəне т.б.).
Біздің мақсатымыз − осындай дененің қозғалыс теңдеуін жазу (осы
жағдай үшін Ньютонның екінші заңының өрнегін табу).
Бұл мəселені материалдық дене үшін шешіп, оны ықшамдық үшін дене
деп атайтын боламыз. Қайсыбір t уақытта қозғалыстағы А дененің массасы
m, ал қозғалыс кезінде оған қосылатын (не одан кететін) массаның осы
денеге қатысты жылдамдығы u болсын.
А дененің жылдамдығы берілген t уақытындағы жылдамдығындай
болатын көмекші К инерциялық санақ жүйесін алайық. Яғни, t-уақытында
дене К санақ жүйесіне қатысты тыныштықта болады деген сөз.
Енді А дене t-дан t+dt-ға дейін уақыт аралығында К санақ жүйесінде
- импульсін алатын болсын. Бұл импульсті А дене біріншіден,
·
импульcті беретін (алып кететін)
массаны қосып алудың (айырылып
калудың) арқасында алады, екіншіден, қоршаған денелер тарапынан немесе
күш өpici тарапынан болатын F күштің əсерінің арқасында алады. Сонымен:
d
d
· .
мұндағы қосу таңбасы массаның қосылуына, алалу таңбасы массаның
бөлінуіне сəйкес келеді. Осы екі жағдайды массаның қосылуы кезінде
болады, ал массаның бөлінуі кезінде dm болады деп алып, жоғары теңдеуді
келесі түрде қайта жазуға болады:
d
d
d · .
Осы теңдікті
d шамасына бөлсек, онда келесі теңдеуді аламыз:
.
(3.13)
мұндағы, u – қосылатын (бөлінетін) заттың қарастырылатын денеге қатысты
жылдамдығы.
Бұл теңдеу массасы айналмалы материалдық нүкте динамикасының
негізгі теңдеуі болып табылады. Ол – Мещерский теңдеуі деп аталады.
Осы теңдеу салыстырмалылық принциптеріне сай бір инерциялық
санақ жүйесінде алынғаннан кейін ол басқа инерциялық санақ жүйелерін де
77
қанағаттандыра алады. Егер санақ жүйесі инерциалды емес болса, онда F
күші дегеніміз – барлық күштердің қорытындысы, яғни оған осы денемен
оны қоршаған денелердің күштерімен қатар инерция күштері де енеді.
Бұл теңдеу инерциялық санақ жүйесіне қатысты алынғандықтан, ол кез
келген басқа инерциялық санақ жүйесінде де орындалады.
(3.13) –теңдеудің ең соңғы мүшесі реактивті күш деп аталады:
d /d
. Реактивті күш берілген денеге қосылған (бөлінген) массаның
əсерінен пайда болады. Егер масса қосылса, онда
d /d
0 жəне вектор Ru
вектордың бағытымен сəйкес; егер масса бөлінсе онда
d /d
0 жəне
вектор R вектор u ға қарама-қарсы бағытта болады.
Мещерский теңдеуі m − массасы тұрақты материалдық нүктелердің
динамикалық негізгі теңдеуімен сəйкес: сол жағы − дененің массасы мен
үдеудің көбейтіндісі; оң жағы − денеге əсер ететін күштермен реактивті күш.
Алайда дененің массасы тұрақты болмай айнымалы болса, онда
дифференциал астына массаны енгізуге болмайды, сондықтан теңдеудің сол
жағын уақыт бойынша импульстің туындысы деп қарастыру мүмкін емес.
Себебі
d
d
/d .
Екі жеке жағдайға көңіл бөлейік.
1. Егер
, денемен салыстырғанда масса жылдамсыздықпен
қосылады немесе бөлінеді, онда
0 жəне (3.13) теңдеудің түрі өзгереді:
.3.14
мұндағы,
- -уақытқа сай дененің массасы; бұл теңдеу, мысалы, құм
төгіліп жатқан платформаның қозғалысын есептей алады. (3.7-есеп, п. 1.).
2. Егер
болса, онда осы таңдап алынған санақ жүйесінде
қосылған немесе бөлініп шығып кеткен масса осы жүйеде қозғалмайтын
болады, сонда (3.13) теңдеудің түрі келесідей өзгереді:
d /d
d /d
немесе
.
(3.15)
Басқаша айтқанда, тек қана осы жағдайда F күшінің əсері массасы
айнымалы дене импульсінің өзгерісін анықтай алады. Бұған мысал ретінде
қозғалып бара жатқан платформаға қозғалмайтын бункерден құйылып
жатқан массаны айтуға болады (3.7-есеп, п. 2 қара).
Мещерский теңдеулерін шешуге мысалдар қарастырайық.
Мысал.
Ракета сыртқы күш əсерінсіз К-инерциялық жүйеде қозғалып келеді. Ракетамен
салыстырғанда одан -тұрақты жылдамдықпен газ атқылап шығып жатады.
78
Ракетаның массасы мен оның жылдамдығы арасындағы байланысты табу
керек, егер бастапқы стартта оның массасы
болса.
Бұл жағдай үшін
0 мен (3.13) теңдеуінен келесі өрнек шығады:
d
d / .
Осы өрнекті бастапқы шарттарға сай интегралдап, келесі теңдеуді аламыз:
ln
/
.
(1)
мұндағы минус таңба v-вектордың (ракета жылдамдығы)
-векторға қарама-
қарсы бағытта екенін көрсетеді. Осыдан
ракета жылдамдығының
отынның жану уақытына тəуелді емес екені көрініп тұр: жылдамдық
ракетаның бастапқы
массасының соңғы
массасына қатынасымен
анықталады.
Тағы да айта кету керек, егер ракетамен салыстырғанда отынның барлық
массасы бірден жылдамдықпен атқылап шығып кетсе, онда ракетаның
жылдамдығы басқаша болар еді. Шынында да егер таңдалынып алынған
инерциялық санақ жүйесінде ракета басында тыныштықта болса, онда барлық
газды бірден атқылап шығарып тастағаннан кейін, соңында оның жылдамдығы
−
болып, ракета-отын деген жүйе үшін импульстің сақталу заңы орындалады:
0
.
мұндағы,
− осы санақ жүйесіне қатысты отынның жылдамдығы. Осыдан:
1
/
.
(2)
Осы жағдай үшін ракетаның жылдамдығы алдыңғы жағдаймен салыстырғанда
аздау болады, ол үшін
/ қатынастары бірдей болуы тиісті. Осы екі
жағдайлар үшін олардың
− жылдамдықтары мен массасларының
/
қатынастарын салыстыру арқылы белгілі бір қорытындығы келу қиын емес.
Бірінші жағдай үшін массалардың қатынасы өскен сайын газ массасы үнемі
жоғалып отырады, ракетаның жылдамдығы шексіз ұлғаяды, ал газ бірден
атқылап шығып кеткенде екінші жағдай үшін жылдамдық (2) теңдеуге сай өзінің
шегіне қарай ұмтылады, яғни ол
-ға тең.
Есептер
3.1. Импульсі
болатын бөлшек
күштің əсерінен қозғалды, а жəне b – тұрақты
векторлар болсын, əрі
.
1)
1
, мұндағы – оң тұрақты шама,
векторды
болатын уақытта табу керек;
2)
2 жəне
0
, мұндағы
–а векторға бағыты қарама-қарсы
вектор, p −векторды
векторға қатысты
90°–қа бұрылғандағы уақытты табу
керек.
Достарыңызбен бөлісу: |
