Законы 10-е издание москва

82 
 
 
3.8-сурет 
 
Шығару  жолы.Біріншіден  масса  центрінің  жүйесіне,  яғни  Ц-жүйеге  өту  керек. 
Мұндай  санақ  жүйеде  шайбалар  массасы  С  центрді  айнала  шеңбер  бойымен 
қозғалады (3.8.б-сурет) cондықтан іздеп отырған күшіміз тең: 
/  
. 
     
 
 
(1) 
мұндағы, 
− массасы;  - шайбаның жылдамдығы;  − шеңбердің шайба айналып 
қозғалатын радиусы. 
Тура  осындай  шарттарды  екінші  жағдай  үшін  де  келтіруге  болады.  Енді  ,  мен   
мəндерін  табайық.  Мына  керекті  қатынастар 
/
/
  алдыңғы  мысалдардан 
белгілі. Сонымен қатар 
. Осы екі қатынастардан төменгі өрнек шығады: 
/
.   
 
 
       (2) 
жылдамдық 
. Біздің жағдайымыз үшін  
0 жəне 
/
. Сондықтан   векторының модулі: 
/
.  
 
 
        (3)
 
Осы шама шайбаның қозғалысы барысында өзгеріссіз қалады. Енді (1) теңдеуге (2) 
мен (3)-ші теңдеулерді алмастырудан кейін келесі теңдеуді аламыз: 
/ ,  
/
. 
3.7.  Массасы  айнымалы  дененің  қозғалысы.  Платформа 
0  болғанда  тұрақты  F 
тарту  күшінің  əсерімен  қозғала  бастайды.  Өстердегі  үйкелісті  ескермей,  төменде 
келтірілген  екі  шарт  үшін  платформа  жылдамдығының  уақытқа  тəуелділігін 
 
табу керек: 
1)  құммен  бірге  тиелген  платформаның  массасы 
µ кг/с
0  болғанда 
-ге  тең 
болады,платформаның түбіндегі тесіктен құм тұрақты жылдамдықпен төгіледі; 
2)  массасы 
  болатын  платформаға 
 
0уақытта  қозғалмайтын  бункерден  тиелу 
жылдамдығы тұрақты жəне 
µ кг/с – ға тең болатындай түрде құм тиеліп жатады. 
Шығару  жолы.  1.  Реактивті  күш  нөлге  тең  болғанда,  Мещерский  теңдеуі (3.13) 
келесі түрде беріледі: 
µ d /d
, осыдан: 
d
d /
µ . 
Бастапқы шарттарға байланысты осы теңдеуді интегралдаймыз: 

83 
 
ln
µ
. 
2.  Реактивтік  күштің  горизонталь  құраушысы 
µ
,  мұндағы  v  – 
платформаның жылдамдығы. Сондықтан Мещерскийдің (3.13) теңдеуі (3.15) түріне 
келтіріледі немесе: 
d
d . 
Бастапқы шарттарды ескере отырып, осы теңдеуді интегралдаймыз: 
. 
мұндағы, 
µ . Осыдан: 
/
µ . 
Екі шарт үшін де алынған өрнектер іс жүзінде тек платформаның жүгін түсіргенде 
немесе тиегенде ғана орын алады. 
3.8.  Ауада  тұрақты  биіктіктегі  ракетадан  u-жылдамдықпен  төмен  қарай  газ  ағыны 
атқылап тұр. Табу керек: 
1) егер отынның бастапқы массасы ракетаның (отынсыз) өз массасының 
η-бөлігіндей 
массасына тең болса, онда ракета осы биіктікте қанша уақыт қала алады?  
2)  егер  отынмен  бірге  зымыранның  бастапқы  массасы 
-ге  тең  болса,  онда  осы 
тұрақты  биіктікте  қалу  үшін  зымыран  газдың  қандай 
µ   массасын  əр  минут  сайын 
лақтырып тастап отыруы керек? 
Шығару  жолы.  1.  Осы  жағдай  үшін 
d /d
0  жəне (3.13) теңдеуі  келесі  түрге 
өзгереді: 
d /d
0. 
Немесе айнымалыларды бөліп тастағаннан кейін: 
/
g/ /d ,   
 
 
 
  (1) 
Осы теңдеуді интегралдап: 
ln
/
g/
, 
     
 
 
(2) 
Осыдан 
/g ln
/
/g ln 1
η . 
Мұнда 
η
m
m /m– болатыны ескерілген. 
2.  Жоғарыда келтірілген (1) теңдеуден төменгі жағдай туады: 
 
µ
d /d
g/
. 
 
m- ді (2)–ші теңдеуден табуға болады: 
e
/
. Нəтижесінде 
 
µ
g/
e
/
. 
 
Берілген  уақыт  аралығы  үшін  осы  теңдеуге  сəйкес  уақытқа  байланысты
 µ  өзгеріп 
отырады. 

84 
 
3.9.  Ракета  біртекті  ауырлық  өрісінде  нөлдік  бастапқы  жылдамдықпен  вертикаль  тік 
көтеріліп  келеді.  Ракетаның  отынмен  бірге  ең  алғашқы  массасы-
  тең.  Атқылап 
жатқан  газ  ағынының  жылдамдығы  ракетамен  салыстырғанда  u-ға  тең.  Ауаның 
кедергісін  елеусіз  қалдырамыз.  Ракетаның  жылдамдығын    оның  массасы  m  мен 
көтерілу уақытына тəуелділігін табу керек. 
Шығару  жолы.  Ракета  үшін  оның (3.13) қозғалыс  теңдеуін  жазамыз: – оң 
бағытпен  жоғары  қарай  вертикаль  өске  осы  теңдеудің  проекциясы  келесі  түрде 
өрнектеледі: 
g
 .
 
Теңдеуді қайтадан жазамыз: 
d
d
g
d
d
 , 
осыдан 
d
g
d /d. 
 
Соңғы теңдеуді интегралдағаннан кейін бастапқы шарттарды ескере отырып келесі 
өрнекті алуға болады: 
g
ln
/
. 
 
Сонымен ракетаның іздеп отырған жылдамдығы төменгі өрнек арқылы табылады: 
 
ln
/
g . 
 
3.10.  Массасы 
  зымыран  сыртқы  күш  өрісінің  əсерінсіз  тұрақты 
-жылдамдықпен 
ұшады.  Қозғалыстың  бағытын  өзгерту  үшін  реактивті  қозғаушы  (двигатель) 
қосылған. 
Нəтижесінде 
зымыранмен 
салыстырғанда 
u-ға 
тең 
тұрақты 
жылдамдықпен  зымыраннан  газ  ағыны  атқылай  бастайды.  Жəне  u  векторы 
зымыранның  қозғалыс  бағытына  үнемі  перпендикуляр.  Қозғалтқыш  өз  жұмысын 
тоқтатқаннан кейін зымыранның массасы m-ге тең болады. Қозғалтқыш қосылғаннан 
бастап зымыранның қозғалыс бағытының бұрылысы қандай бұрышқа өзгереді? 
Шығару жолы. 
dt    уақыт  аралығындағы  зымыран  жылдамдығы  векторының 
өсімшесін  табайық. (3.13) теңдеудің  екі  жағын  да  dt-ға  көбейтіп,  жəне 
0  тең 
екендігін ескере отырып, келесі өрнекті аламыз: 
 
d
d / , 
 
мұндағы, 
d
0.  Вектор-  u  үнемі  зымыран  жылдамдығы 
-  векторға 
перпендикуляр  болғандықтан  v  векторының  модулі  өзгермейді  де,  үнемі  өзінің 
алғашқы мəніне тең болады: | |
. Осыдан v векторының 
dα- бұрылу бұрышы dt 
уақыт аралығында келесі теңдеумен анықталады: 
 
d
|d |/
/
|d / |, 
 
Осы теңдеуді интегралдап, келесі өрнекті табамыз: 
 
/
ln
/
.