106
Егер массалар (зарядтар) жүйеде үздіксіз таралған болса, онда
қосындыны интегралдауға болады:
MEH
1/ 2
1/ 2
,
U
dm
pdV
(4.37)
мұндағы,
p – массаның көлемдік тығыздылығы,
– көлемнің элементі. Бұл
жерде интегралдау массалар (зарядтар) алып тұрған барлық көлем бойынша
жүргізіледі.
Жүйенің «сыртқы» потенциалдық энергиясы
Жүйе консервативті күштердің сыртқы стационарлық өрісінде
орналасқан. Бұл жағдайда осы өрісте жүйенің əрбір бөлшегі өзінің
-
потенциалдық энергиясымен сипатталады, ал барлық жүйе:
сырт
∑
(4.38)
шамасымен анықталады.
Міне, осы шаманы жүйенің «
сыртқы» потенциалдық энергиясы деп
атайды.
мен
- жүйенің меншікті потенциалдық энергиясының
сырт
сыртқы
потенциалдық энергиядан айырмашылығы ол тек жүйе ішіндегі
бөлшектердің өзара əрекеттесуіне ғана тəуелді.
Бұл шама біртекті жүйеде бөлшектердің өзара əрекеттесулеріне ғана
тəуелді болады. (4.10)-ға сай сыртқы өрістегі əрбір бөлшектің потенциалдық
энергиясының кемуі осы өрістің орын ауыстыру үшін жұмсалатын сыртқы
күштердің жұмысына тең, сондықтан жүйенің «сыртқы» потенциалдық
энергиясының кемуі жүйенің барлық бөлшектеріне əсер ететін «сыртқы»
күштердің жұмысына тең болады:
сырт
∆
сырт
(4.39)
Біртекті өріс күшінде орналасқан жүйенің сыртқы потенциалдық
энергиясын есептеу үшін өте пайдалы формуланы табуға болады. Бүкіл
əлемдік тартылыс күштің өрісі берілсе, онда жүйенің
і-ші бөлшегіне
g күш
əсер етсін. Онда (4.13) формулаға сəйкес бөлшектең потенциалдық энергиясы
g болады.
-кез келген
О деңгеймен салыстырғандағы бөлшектің
вертикаль координатасы. Онда сыртқы біртекті өріс ішінде барлық тұтас
жүйенің потенциалдық энергиясын (өрістің меншікті потенциалдық
энергиясы қажет емес) келесі өрнекпен сипаттауға болады:
∆
сырт
g
g
107
Жақша ішіндегі сома (3.8) теңдеуге сəйкес жүйенің барлық
m
массасының осы жүйенің массалар центрінің вертикаль координатасына
көбейтіндісі болып табылады. Яғни, ∑
болғандықтан,
сырт
үшін
келесі теңдеуді қайта жазуға болады:
сырт
g∆
(4.40)
Сыртқы біртектегі өрістегі жүйенің потенциалдық энергиясы тұтас
жүйенің массасының
-ның,
g ның жəне
ның масса центрінің
вертикал координатасының көбейтіндісіне тең.
Жүйенің орын ауыстыру барысында
сырт
шамасының өсімшесі тең:
∆
сырт
g∆
(4.41)
∆
бөлшектер
жүйесінің
массалар
центрінің
вертикаль
координатасының өсімшесі.
§ 4.5. Жүйенің механикалық энергиясының
сақталу заңы
Диссипативті күштер
Бөлшектер жүйесін таңдап алу мақсатына сай күштерді сыртқы жəне
ішкі деп бөлу жеткіліксіз, сонымен қатар оларды табиғатына сай
консервативті жəне консервативті емес деп бөлуге де болады.
Консервативті емес күштерге диссипативті күштер жатады. Оған
үйкеліс күштері мен кедергі күштері кіреді. Кез келген диссипативті күшті
келесі өрнегімен сипаттауға болады:
(4.42)
мұндағы,
v – өзі басқа денелермен əрекеттесе алатын (немесе ортамен)
салыстырғандағы дененің жылдамдығы.
k(v) – v – жылдамдыққа тəуелді оң
коэффициент.
– күші v векторына əруақытта қарама-қарсы бағытталған.
Таңдалып алынған санақ жүйесінің түріне сай осы күштің жұмысы оң
да, теріс те болуы мүмкін. Жүйенің барлық ішкі диссипативті күштерінің
қорытынды жұмысы – санақ жүйесіне тəуелсіз əруақытта теріс шама.
ішк
дис
0
(4.43)
108
Енді осы тұжырымды дəлелдеу барысындағы берілген жүйеде ішкі
диссипативті күштер қос-қостап кездеседі. Айта кету қажет, Ньютонның
үшінші заңына сай əрбір қос диссипативті күштер модулі бойынша бірдей, ал
бағыттары бойынша қарама-қарсы. Жүйе ішіндегі
1 мен 2 дене арасындағы
өзара əрекеттесулердің кез келген қос диссипативті күштерінің элементар
жұмысын табайық, мұндағы, берілген уақыт ішінде денелердің жылдамдығы
мен :
дис
d
d
Келесі жағдайларды еске алу қажет:
,
– 1 дененің
2- денемен салыстырғандағы жылдамдығы. Сонымен қатар
, сонда
жұмыс үшін келесі түрлендірілген өрнекті келтіруге болады:
дис
d
d
Өзара əрекеттесудің кез келген қос ішкі диссипативті күштерінің
жұмысы əрдайым теріс, ал олай болса, барлық ішкі диссипативті күштердің
қосындысы үшін қорытынды жұмыс санақ жүйесіне тəуелсіз əрдайым кері
шама.
Жүйенің кинетикалық энергиясы
(4.28) теңдеуі бойынша əрбір жеке бөлшектің кинетикалық
энергиясының өсімшесі бөлшекке əсер ететін барлық күштердің жұмысына
тең:
∆
. Сондықтан -жүйенің барлық бөлшектеріне əсер ететін
барлық күштердің атқаратын жұмысы, осы жүйенің күйі өзгерген жағдайда
келесі формуламен анықталады:
∆
∆
,
немесе
∆
∑
(4.44)
жүйенің қорытынды кинетикалық энергиясы.
Сонымен жүйенің кинетикалық энергиясының өсімшесі жүйенің барлық
бөлшектеріне əсер ететін барлық күштердің жұмысына тең:
∆
.
(4.45)
Достарыңызбен бөлісу: |
