Умк по инженерному проектированию

(6**) сәйкес жазайық

(7) интегалды өрнекті бөлек жазайық

(8) түріндегі теңдеу тұңғыш рет Эйлермен алынған және ол диффенренциалды Эйлер теңдеуі деп аталады. Кешірек осы сияқты теңдеуді Лагранж алған, сондықтан кейде оны Эйлер-Лагранж теңдеуі деп атайды.

(8) дифференциалды теңдеудің тұрақты интегралры (3) шекаралы шарттармен анықталады. (8) шарты 1-ші функционал вариациясын нольге айналдырудың керек шарты болып табылады, өйткені нольге айналдырудың керек шарты болып табылады. Басқа жағынан ол толық шарт болып табылады, өйткені нольге айналдырған кезде интеграл астындағы өрнек және сол интеграл нольге айналады, алынған (8) дифференциалды теңдеудің (3) шекаралы шарттар арқылы (1) түріндегі функционал экстемумының керек және толық шарты болып табылады.