T
, K
, Дж/(моль·K)
по формуле
(6.20)
по
общей
формуле
(6.18)
1
5,26
10
-13
799,3
1,055
10
-8
1,05
10
-8
5
3,5
10
-3
32,0
2,8
2,8
10
5,9
10
-2
8,0
11,8
13,3
100
7,5
10
-1
0,08
1,5
24,77
200
8,7
10
-1
0,02
0,4
24,9
300
24,92
400
24,93
500
24,936
600
24,938
Таким образом, в приближении Эйнштейна теплоемкость приближенно равна
при
комнатных и более высоких температурах и убывает при понижении температуры. Тем не
менее, строгого согласия с экспериментом в этой модели Эйнштейну достигнуть не
удалось. Как уже отмечено, теплоемкость диэлектриков убывает с понижением
температуры по закону
, а металлов − линейно, тогда, как в приближении Эйнштейна
это убывание совершается по экспоненте (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Зависимость теплоемкости от температуры для меди [59]:
1 − экспериментальная кривая; 2 − рассчитанная по формуле Эйнштейна
Температура
, при которой начинается быстрый спад теплоемкости, называется
характеристической температурой Эйнштейна
и определяется из соотношения
. Реальная температура Эйнштейна
зависит от вещества. Для большинства
твердых тел она порядка 10
2
K, но у некоторых веществ она аномально высока (бериллий,
алмаз). Это связано с зависимостью частоты колебаний от величины сил взаимодействия
атомов в веществе.
Ограниченность модели Эйнштейна заключена в том, что его предположение о
равенстве частот всех упругих волн в твердом теле не соответствует реальному
положению вещей. Тем не менее главное, что он показал – это то, что колебания
механических осцилляторов квантуются (так же, как Планк доказал квантование
излучения абсолютно черного тела). Рассматривая твердое тело как систему
осцилляторов, Эйнштейн объяснил уменьшение теплоемкости при температуре,
стремящейся к нулю.
Однако роль модели Эйнштейна этим не ограничивается. Ее часто используют для
описания оптических фононов, для которых, как было показано выше в случае
одномерной атомной цепочки с базисом, интервал частот лежит в пределах
, т. е. изменение частоты в пределах зоны Бриллюэна
невелико. Для акустических колебаний решетки разброс частот достаточно велик (
) и модель Эйнштейна неприменима.
Для построения более корректной модели колебаний атомов в кристаллической решетке
необходимо учесть то, что эти колебания совершаются с разными частотами, т. е. ввести
некоторый закон дисперсии. Впервые распределение колебаний по частотам в теории
теплоемкости твердых тел было учтено в модели Дебая.
6.2.2. Приближение Дебая В приближении Дебая твердое тело рассматривается, как
изотропная непрерывная среда –
Достарыңызбен бөлісу: