Пререквизиты: предшествующие


Y , k,T   0 ^

(5.1)

Выражения (5.1) представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественной части всех остальных корней, кроме чисто мнимых.

W  p  W₁  pW₂

 pW₃  pW₄

 p 

pT₂

k _,

p  1T₁ p  1

где k  k₁k₂ k₃ k₄

- общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

^{Характеристическое уравнение T}2^T1 ^p3+(T2^+T1<sup>)p2+p+k=0.

Предположим, что T</sup>2 ^{является заданной величиной и требуется построить область} устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления k и постоянной ^{времени T}1<sup>.

Характеристический полином D(jω)=k+jω-ω2(T</sup>1^+T2^)-jω3T1^T2^. Уравнения, определяющие границу устойчивости,

^X=k-ω2(T1^+T2^{)=0 Y=ω-ω3T}1^T2^=0.

Решая их совместно получим
T₁ 
1



2
T  ²

k  ¹

T₂

 T  ² .

2
^{Задаваясь различными значениями ω от 0 до ∞ вычислим значения параметров k , T}1 ^{для этих частот} и занесем в таблицу:

ω	K	T1
0 . . . ∞	1/ T2 . . . ∞	∞ . . . 0

По полученным данным строим кривую D-разбиения (рисунок 5.1)

X _{ 1;} X

k T₁

Y _{ 0;} Y

k T₁

  ² ;

2
  ³T .

1

Определитель Δ равен  

0

  ²


2
  ³T
  ³T .

2
Для отрицательных частот ω (от -∞ до 0) Δ>0 штрихуем слева. Для положительных частот

ω (от 0 до +∞) Δ<0 штрихуем справа. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.

^{Так как параметры k и T}1 ^{должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей k и T}1 ^{и для любых значений k и T}1 ^{можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система.}
Качество регулирования линейных систем Показатели качества САУ

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием пригодности САУ для практического использования. Кроме устойчивости САУ должна удовлетворять ряду требований, характеризующих работу системы как в установившемся, так и переходном режимах, т.е. обеспечивать определенное качество регулирования. Основным показателем, характеризующим качество регулирования в установившемся режиме является точность, которая определяется величиной отклонения регулируемой величины от ее заданного значения после окончания переходного процесса.

Рассмотрим показатели, характеризующие качество регулирования в переходном режиме. Эти показатели оцениваются по реакции системы на некоторые тестовые воздействия (единичная ступенчатая, единичная импульсная).

Наиболее широко используется ступенчатая функция

x(t)

1t   ^1



_0

при при

t  0

t  0


T=2π/ω

Рисунок 5.2

системе воздействия до момента, когда отклонение регулируемой величины

h(t)

от нового

установившегося значения _hуст станет меньше некоторой заданной величины _{  (1  5)%} .

ht   h_уст  

2. 
   Перерегулирование σ- максимальное отклонение регулируемой величины
   

^hmax

от нового

установившегося значения ^hуст

в относительных единицах или в %.

_{ } ^hmax ^{ h}уст

^hуст

 (100%)

σ=10÷30%

3. 
   Частота колебаний _{ } ^2
   

T

4. 
   Время достижения первого максимума – _tmax
   
5. 
   ^{Время нарастания переходного процесса –} t_н
   
6. 
   Число колебаний – n (за время _{t р} ) обычно (1÷2) реже (3÷4). Иногда n=0.
   

Методы оценки качества систем

1. 
   Прямые
   
2. 
   Косвенные
   

Прямые методы – это оценки показателей качества по кривой переходного процесса (рис.5.2).

Кривая переходного процесса может быть получена расчетным путем или экспериментально. В тех случаях, когда это затруднительно, используют косвенные методы оценки качества, а прямые оценки – на заключительном этапе исследования САУ.

Косвенные методы оценки качества, не требующие, построения графика переходного процесса делятся на три группы: корневые, интегральные и частотные методы.
Корневые методы

Как было показано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходного процесса системы, поэтому можно сформулировать требования, по качеству переходных процессов не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные ограничения на корни характеристического уравнения.

Пусть САУ описывается дифференциальным уравнением вида:

a Pⁿ  a P^n1 ...  a Y t  b P^m  b P^m1 ...  b

xt

(5.3)

0 1 n 0 1 m

Решение уравнения (5.3) представим в виде:

Y (t)  Y_в (t)  _св (t) Y_в t  – вынужденная составляющая переходного процесса ^Y_св ^{t } – свободная составляющая
(5.4)

^Ycв

(t)  С е^1t

 C<sub>2

е</sub>₂t

 С<sub>n

е</sub>_nt _,

(5.5)

1
где ₁ ,, _n - корни характеристического уравнения вида

a ⁿ  a ^n1 ... a  0 ^{. (5.6)}

0 1 n

Оценка быстродействия САР

Для оценки быстродействия используется понятие степени устойчивости η.

Под степенью устойчивости понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня.

y_ (t)  С_ е^t .

(5.7)

Видно, что чем больше ŋ тем быстрее затухает соответствующая составляющая. Практически можно считать переходный процесс закончившимся, когда затухнет ŋ – я составляющая (уравнение(5.7)).

Для монотонных процессов (без колебаний) – корни вещественные:

t  ¹ ln ¹

  (0,01 0,05) ^.

^р  

Для колебательных процессов дается оценка сверху:

t  ¹ ln ¹ .

^р  

Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вычисления корней характеристического уравнения (5.6). Для этого в характеристическом уравнении (5.6) делается подстановка вида λ=z-η.

Получаем так называемое смещенное характеристическое уравнение:

0

1
а (z )ⁿ  а

(z )^n1 … а  0

(5.8)

n
Геометрически это означает перенос мнимой оси влево на расстояние η. При этом один или два корня попадают на мнимую ось, что соответствует границе устойчивости.

Теперь применив к этому уравнению любой из критериев устойчивости можно определить значения η.

Оценка запаса устойчивости

Переходный процесс в САР будет колебательным, если характеристическое уравнение имеет комплексные корни вида - α ± jω, которые дадут в решении уравнения (5.5) составляющую ^вида: Се ^t sin(t  ) ^.

Склонность САР к колебаниям характеризуется отношением мнимой части корня ω

(угловая частота колебаний) к вещественной α (коэффициент затухания), колебательности.

  ^



– показатель

Т  t₂

• 
  t₁
  

_ 2 _.



где

Колебательность связана с другим показателем, называемым затуханием

_{ } С₁  С_{2 ,}

С₁

С₁  Се^t1

2
С  Сe^t2

 ^ t

т. к.

_ ^2 

t₂  t₁

 ^{2 , то}



2
_ 2



^ 
 ₁

C₂  Ce ^

_ С



 C₁e ^


_ 2

 C₁e

 1  ²

С₁

 1  e ^

(5.9)

(5.9) формула связывающая затухание с показателем колебательности.

В САР допускается затухание за один период

  90  98%

Из формулы (5.9) можно получить:

^или 0,9  0,98 ^{относительных единицах.}

_{ } 2 _.

ln ¹ 1  

^{Например: а) если}   0.9,

_{то  } 2 _ 2

 2.7

ln ¹

1  0.9

ln10

б) если   0.98, то   1.6

Это пределы для реальных систем (1.6    2.7 )

Задание определенной колебательности ограничивает область расположения корней двумя лучами (рис. 5.3а), которые составляют с осью вещественных угол

  arctg ^



 arctg.

Колебательность САР можно определить без нахождения корней характеристического

уравнения. Для этого используются подстановка,   jzе^{ j} , которая соответствует повороту

координатных осей против часовой стрелки на угол

^ 

2

. При этом, по крайней мере, один

корень попадает на мнимую ось и затем он отыскивается.

жүктеу 0,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: