Мысал 4. Белгілі бір шаманың мәні ретінде мейлінше көп өлшеулердің арифметикалық орташа нәтижесі алынады.Әрбір өлшеудің мүмкін мәндерінің орташа квадраттық ауытқуы 1 сантиметрден аспайды, деп қарастырып, 1000 өлшеуде алынған нәтиженің берілген шаманың шын мәнінен ауытқуының 0,1 сантиметрден артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.
Шешуі: Әрбір өлшеудің нәтижесі кездейсоқ шама болады. Сондықтан 1000 өлшеудің нәтижелерін тәуелсіз кездейсоқ шамалар жиынтығы ретінде қарастырамыз. Сонда
1000 өлшеудің арифметикалық орташа мәні болады. Ол да кездейсоқ шама болады. Енді өлшеп отырған шаманың шын мәнін а деп қабылдасақ. Чебышев теоремасын пайдалануға болады:
Сөйтіп
Мысал 5
Электрошамдар салынған 100 жәшіктің әрқайсысынан олардың жану ұзақтығын анықтау үшін бір-бірден электрошам алынды. Сөйтіп алынған шамдардың жану ұзақтығының арифметикалық орташа жану ұзақтығы есептелінді.Осы арифметикалық орташа жану ұзақтығының жәшіктердегі барлық шамдардың жану ұзақтығының арифметикалық орташа жану ұзақтығынан айырмасының абсолют шамасының 2 сағаттан көп болмауының ықтималдығын бағалау керек. Шамдардың жану ұзақтығының орташа квадраттық ауытқуы 8 сағаттан аспайды.
Шешуі: Кездейсоқ шамаларға белгілеу енгізелік. і-інші жәшіктен алынған электрошамның жану ұзақтығы М(х) - әр жәшіктегі шамдардың арифметикалық орташа жану ұзақтығы.
Сонда
алынған шамдардың арифметикалық орташа жану ұзақтығы, ал
барлық шамдардың жану ұзақтығының арифметикалық орташа жану ұзақтығы. Сонымен есептің шарты бойынша мына ықтималдықты бағалау керек.
.
Қарастырып отырған кездейсоқ шамалар үшін Чебышев теоремасының шарттары орындалады. Олай болса
Сөйтіп
.
Мысал 6
Белгілі бір шаманы өлшегенде алынған нәтижелер дисперсиясы 1-ден аспайтын кездейсоқ шама. Осы нәтижелердің арифметикалық орташа мәнінің берілген шаманың шын мәнін ауытқуының абсолют шамасы 0,01-ден артпауының ықтималдығы 0,98- ден кем болмауы үшін қанша өлшеу керек?
Шешуі: Әрбір өлшеу кезінде алынған нәтижелер кездейсоқ шама және олар тәуелсіз. Белгілеу енгізелік бірінші, екінші, …, n-ші өлшеулердің нәтижелері. Олай болса олардың арифметикалық орташа мәні де
кездейсоқ шама. Енді өлшеп отырған шаманың шын мәнін а- деп белгілесек, сонда бұл кездейсоқ шамалар Чебышев теоремасының шарттарын қанағаттандырады. Сондықтан
.
Осыдан мына теңсіздікті аламыз:
1-
Соңғы теңсіздікті шешіп n болатынын көреміз.
Мысал 7
Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі төмендегідей үлестірім заңымен берілсе
Хn -3n 0 3n
P 1-
Онда осы кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын қолдануға бола ма?
Шешуі: Берілген кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын пайдалану үшін бұл тізбектер екі шартты қанағаттандыру керек:
1) олар қос-қостан тәуелсіз болу керек.
2) олардың математикалық үміттері арқылы болып, дисперсиялары тұрақты бір С санымен шектелген болуы керек.
Берілген кездейсоқ шамалар үшін бірінші рет орындалады, себебі есептің шарты бойынша олар тәуелсіз кездейсоқ шамалар.Ал екінші шарттың орындалуын тексеру қажет. Әуелі математикалық үміттерді есептейік
Енді үшін үлестірім кестесін жазайық.
Х 9 0 9n
P 1-
Осыдан
ақырында D
Сонымен М() ақырлы болады да, ол Dшектелген болады. Олай болса Чебышев теоремасын пайдалануға болады.
Есептер
1. Әрбір тәуелсіз 200 кездейсоқ шаманың дисперсиялары 4-тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташа санының олардың математикалық үміттерінің арифметикалық орташа санымен ауытқуының 0,3-тен артпауының ықтималдығын бағалау керек.
2. Жұмыс істеуінің ұзақтығын анықтау үшін берілген партиядан кез-келген 150 радиошам алынды. Радиошамның жұмыс істеу ұзақтығының орташа квадраттық ауытқуы 6 сағаттан аспайды. Алынған 150 радиошамдардың жұмыс істеуінің орташа ұзақтығының берілген партиядағы барлық шамдардың жұмыс істеуінің орташа ұзақтығынан айырымының абсолют шамасы 5 сағаттан кем болуының ықтималдығын бағалаңыз.
3. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлестірім қатарымен берілген:
1) Х -5n 0 5n
P
2)
Х -2 2
Р 0,5 0,5
Осы кездейсоқ шамалар тізбектеріне Чебышев теоремасын пайдалануға бола ма?
4. Әрбір 300 тәуелсіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы 5 –тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасы олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортащасынан ауытқуы 3-тен аспауының ықтималдығын бағалаңыз.
5. Қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы 10-нан аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасының олардың математикалық үміттерінің арифметикалық орташасынан ауытқуының ықтималдығы 0,99-дан кем болмауы үшін қанша кездейсоқ шама алыну керек?
6. Қос-қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалардың әрқайсысының дисперсиясы 10-нан аспайды. Осындай 16000 кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташасы олардың арифметикалық үміттерінің арифметикалық орташасынан ауытқуының 0,25-тен артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.
7. Берілген шаманың шын мәні а. Осы шаманың мәнін анықтау үшін өлшеулер жүргізіледі. Осы өлшеулердің арифметикалық орташа мәнінің а-дан ауытқуы 2-ден кем болуының ықтималдығы 0,95-ке тең болуы үшін қанша өлшеу жасау керек?Әрбір өлшеудің орташа квадраттық ауытқуы 10-нан кіші.
8. Таңдама әдіспен бидай дәндерінің орташа салмағын анықтау керек.Дәндердің салмағының орташа квадраттық ауытқуы белгілі ол-0,04. Таңдама әдіспен алынған дәндердің орташа салмағының осы орташа салмақтың математикалық үмітінен (бұл берілген партиядағы дәндердің орташа салмағы) ауытқуы 0,01-ден артық болмауы 0,9 ықтималдықтан кем болмауы үшін қанша дән тексерілуі керек?
9. Тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі үлестірім заңдарымен берілген:
1. Х -5n 0 5n
P 1-
2. Х -n 0 n
P
Осы кездейсоқ шамалар тізбегіне Чебышев теоремасын пайдалануға бола ма?
10. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың әрқайсысының дисперсиясы 4-тен аспайды. Осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық орташа мәнінің олардың математикалық үміттерінің арифметикалық орташа мәнінен ауытқуының ықтималдығы 0,99-дан артық болмауы үшін қанша кездейсоқ шама болуы керек?
Достарыңызбен бөлісу: |
