§2. Ашық жəне тұйық жиындар
Өлшемі
n
-ге тең кеңістіктің нүктелерінен кұралған жиындар
мен ол жиындардың кұрамындағы нүктелер, оларға қойылған
белгілі шарттардың орындалуына қарай, бірнеше топқа бөлінеді
.
Жаңа ұғымдар түсінікті болу үшін оларды біз екіөлшемді кеңістік
немесе
ХОY
жазықтығы үшін енгіземіз
.
ХОY
жазықтығының
А
(
x
0
,
y
0
) нүктесі жəне кез келген
0
δ
∀ >
саны берілсе, онда
А
нүктесінің
U ( A )
δ
түріндегі
δ
-
маңайы
деп
берілген
А
нүктесінен
( А, В )
ρ
қашықтығы берілген
0
δ
>
саны-
нан кіші болатын, яғни
А В
( , )
ρ
δ
<
теңсіздігін қанағаттандыратын
В
нүктелер жиынын айтады. Басқаша (
х - х
0
)
2
+
(
у - у
0
)
2
< δ
2
шар-
тын қанағаттандыратын
В
=
{
}
М ( x, y )
нүктелер жиынын
А
(
x
0
,
y
0
)
нүктесінің
δ
-
маңайы
деп атайды (10-сурет).
2.3
-
анықтама
.
Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған
М
жиынының кез келген екі нүктесін түгелдей сол жиынның
нүктелерінен тұратын үзіліссіз қисықпен қосу мүмкін болса,
М
байламды жиын
деп аталады.
2.4-анықтама
.
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған
М
жиынының кұрамындағы
А
(
A
∈
М
) нүктесі өзінің қандай да бір
25
U ( A )
δ
маңайымен бірге осы жиынның ішінде жатса,
А
нүктесі
М
жиынының
ішкі нүктесі
деп аталады.
2.5
-
анықтама.
Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған
М
жиынының кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса,
М
ашық жиын
деп аталады. Яғни, тек ішкі нүктелерден құралған
жиынды ашық жиын дейді.
2.6
-
анықтама
.
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған
М
байламды ашық жиын болса, онда оны
облыс
деп атайды.
2.7
-
анықтама.
Егер
В
нүктесінің кез келген
U В
( )
δ
маңайында
М
жиынының нүктелерімен бірге ол жиынның кұрамында жоқ
нүктелер де жатса, онда
В
нүктесі
М
жиынының
шекара нүктесі
деп аталады. Шекара нүктелердің жиыны сол
жиынның шека-
расын
кұрайды (11-сурет).
2.8-анықтама
.
Егер
М
жиынының барлық шекара нүктелері
сол жиынның құрамына кіретін болса, ондай жиынды
тұйық
жиын
деп атайды.
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған
М
жиыны тұта-
сымен қандай да бір дөңгелекке енсе, ол
шектелген жиын
деп
аталады.
§3. Көп айнымалыға тəуелді фунцияның шегі
Бізге
ХОY
жазықтығының
Q
облысында анықталған
z = f
(
x, y
)
функциясы берілсін жəне (
x
0
,
y
0
) осы облыстың бекіген бір нүктесі
болсын.
2.9
-
анықтама
.
Егер
z = f
(
x, y
) функциясы (
x
0
,
y
0
) нүктесінің
10-сурет. 11-сурет.
26
кейбір маңайында анықталып, (
x
0
,
y
0
)-ге ұмтылатын қандай да
болмасын (
x
k
,
y
k
) нүктелер тізбегі үшін
k
0
k
0
k
k
x
x ,
y
y
lim f ( x , y )
A
→
→
=
шегі бар болса (жазылуы
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
y
x
→
ұмтылуында
f
(
x, y
)
А
→
), онда
f
(
x,y
) функциясы (
x
0
,
y
0
) нүктесінде
0
0
x
x
y
y
lim f ( x, y )
A
→
→
=
түрінде белгіленетін жəне
А
санына тең шекке ие болады.
2.10
-
анықтама
.
z = f
(
x, y
) функциясы
М
0
(
x
0
,
y
0
) нүктесінің
кейбір маңайында анықталған болсын (бірақ
М
0
(
x
0
,
y
0
) нүктесінің
өзінде анықталмауы да мүмкін) деп ұйғарайық. Егер
0
ε
∀ >
саны бойынша
0
δ
>
саны табылып,
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
теңсіздігін
қанағаттандыратын
М
(
x, y
) нүктелері үшін
( )
f x, y
A
ε
−
<
тең-
сіздігі орындалатын болса, онда
А
санын
( )
y
x
f
,
функциясының
0
0
x
x , y
y
→
→
ұмтылуындағы
(немесе
( )
(
)
0
0
0
M x, y
M x , y
→
-ге
ұмтылуындағы)
шегі
деп атайды жəне оны былай жазады:
( )
(
)
(
)
М
М
x
x
y
y
f x y
A немесе
f x y
A
M
M x y
Q M
M x y
Q
0
0
0
0
0
0
0
lim
( , )
lim ( , )
,
,
,
,
.
→
→
→
=
=
=
∈
=
∈
Бұл екі анықтама өзара эквивалентті анықтамалар.
Бір аргументті функциялардың шектері жəне оларды есептеу
əдістері түгелдей көп аргументті функцияларға да қолданылады.
Үш, төрт жəне одан да көп айнымалы функциялардың шек-
терін жəне оларды есептеу дəл осылайша анықталады.
Көп айнымалы функциялардың үзіліссіздігі де бір айнымалы
функцияның үзіліссіздігіндей анықталады.
§4. Көп айнымалыға тəуелді функцияның үзіліссіздігі
Айталық,
z
f ( x, y )
=
функциясы
Q
облысында анықталған
болсын жəне
0
0
0
М ( x , y )
нүктесі
Q
жиынында жатқан осы
жиынның шекара нүктесі болсын.
2.11
-
анықтама
.
Егер
z
f ( М )
=
функциясының
0
М
М
→
нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның
0
М
нүктесіндегі
0
f ( М )
мəніне тең, яғни
0
0
М
М
lim f ( М )
f ( М )
→
=
болса, онда
f ( М )
функ-
27
циясы
0
М
нүктесінде
үзіліссіз функция
деп аталады. Мұндайда
0
0
М
М
lim f ( M )
f ( M )
→
=
немесе
0
0
0
0
x
x ,
y
y
lim f ( x, y )
f ( x , y )
→
→
=
деп жазатын
боламыз. Мұндағы
( )
M x, y
Q
∈
жəне
(
)
0
0
0
M x , y
Q
∈
. Қысқаша,
егер
0
0
0
0
x
x
у
у
lim f ( x )
f ( x ; y )
→
→
=
болса, онда
у=f(x)
функциясы
М
0
(х
0
;у
0
)
нүктесінде
үзіліссіз функция
делінеді.
Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның
М
0
нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да бір мынадай анықтамасын
келтіруге болады:
2.12
-
анықтама
.
Егер
0
ε
∀ >
санына сəйкес
( )
0
δ δ ε
=
>
саны табылып,
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
теңсіздігін қанағаттандыратын
М
нүктелері үшін
( )
( )
0
f М
f М
ε
−
<
теңсіздігі орындалса,
U
f М
( )
=
функциясы
М
0
нүктесінде
үзіліссіз функция
деп ата-
лады.
Мына
0
0
х x
х, у y
у
∆
∆
−
=
−
=
шамаларының əрқайсысы
берілген
z
f ( x, y )
=
функциясының
х, у
аргументтерінің сəйкес
өсімшелері, ал
( )
(
)
0
0
f x, y
f x , y
−
айырымы – функцияның
өсімшесі, яғни
( )
( )
(
)
0
0
z
f x, y
f x, y
f x , y
∆
∆
=
=
−
екенін ескер-
сек, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің жоғарыда берілген
анықтамасын былайша тұжырымдауға болады: егер аргу
мент-
тердің ақырсыз кіші өсімшелеріне берілген функцияның да
ақырсыз кіші өсімшесі сəйкес келсе, онда функция
0
0
0
М ( x , y )
нүктесінде
үзіліссіз
деп аталады. Демек, егер
z
f ( x, y )
=
функ-
циясы
0
М
нүктесінде үзіліссіз болса,
( )
0
0
М
М
М
М
lim
z
lim
f x, y
0
∆
∆
→
→
=
=
болады.
Егер
z
f ( x, y )
=
функциясы
Q
облысының əрбір нүктесінде
үзіліссіз болса, онда бұл функцияны
Q
облысында
үзіліссіз функ-
ция
деп атайды.
Енді
ХОY
жазықтығының кейбір
Q
облысында үзіліссіз бо-
латын
z
f ( x, y )
=
функциясының қасиеттеріне тоқтайлық. Олар
аралықта үзіліссіз болатын бір айнымалыға тəуелді функцияның
қасиеттеріне ұқсас.
1) Егер
z
f ( М )
=
функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз
болса, онда ол осы облыста шектелген функция болады. Демек:
28
K : f ( x, y )
K.
∃
<
2) Егер
z
f ( М )
=
функциясы шектелген тұйық облыста
үзіліссіз болса, онда ол осы облыста өзінің дəл төменгі жəне
жоғары мəніне жете алады.
3) Егер
z
f ( x, y )
=
функциясы шектелген тұйық облыста
үзіліссіз болса, ол сол облыста бірқалыпты үзіліссіз болады.
Достарыңызбен бөлісу: |