Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет8/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

§2. Ашық жəне тұйық жиындар
Өлшемі 
n
-ге тең кеңістіктің нүктелерінен кұралған жиындар 
мен ол жиындардың кұрамындағы нүктелер, оларға қойылған 
белгілі шарттардың орындалуына қарай, бірнеше топқа бөлінеді

Жаңа ұғымдар түсінікті болу үшін оларды біз екіөлшемді кеңістік 
немесе 
ХОY
 жазықтығы үшін енгіземіз
.
ХОY
 жазықтығының 
А
(
x
0
,
y
0
) нүктесі жəне кез келген 
0
δ
∀ >
 
саны берілсе, онда 
А
 нүктесінің 
U ( A )
δ
 түріндегі 
δ
-
маңайы
 деп 
берілген 
А
 нүктесінен 
( А, В )
ρ
 қашықтығы берілген 
0
δ
>
 саны-
нан кіші болатын, яғни 
А В
( , )
ρ
δ
<
 теңсіздігін қанағаттандыратын 
В
 нүктелер жиынын айтады. Басқаша (
х - х
0
)


(
у - у
0
)

< δ
2
 шар-
тын қанағаттандыратын 
В
 =
{
}
М ( x, y )
 нүктелер жиынын 
А
(
x
0
,
y
0

нүктесінің 
δ
-
маңайы
 деп атайды (10-сурет).
2.3
-
анықтама
.
 Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған
 
М
 жиынының кез келген екі нүктесін түгелдей сол жиынның 
нүктелерінен тұратын үзіліссіз қисықпен қосу мүмкін болса,
  М
 
байламды жиын
 деп аталады.
2.4-анықтама
.
 Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған
 М
 
жиынының кұрамындағы 
А 
(
A



М
) нүктесі өзінің қандай да бір 


25
U ( A )
δ
 маңайымен бірге осы жиынның ішінде жатса, 
А
 нүктесі 
М
 жиынының 
ішкі нүктесі
 деп аталады.
2.5
-
анықтама.
 
Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған 
М 
жиынының кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса, 
М
 
ашық жиын
 деп аталады. Яғни, тек ішкі нүктелерден құралған 
жиынды ашық жиын дейді.
2.6
-
анықтама

Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған 
М
 
байламды ашық жиын болса, онда оны 
облыс
 
деп атайды.
2.7
-
анықтама.
 
Егер 
В
 нүктесінің кез келген 
U В
( )
δ
 маңайында 
М
 жиынының нүктелерімен бірге ол жиынның кұрамында жоқ 
нүктелер де жатса, онда 
В
 нүктесі 
М
 жиынының 
шекара нүктесі
 
деп аталады. Шекара нүктелердің жиыны сол 
жиынның шека-
расын
 кұрайды (11-сурет).
2.8-анықтама

Егер 
М
 жиынының барлық шекара нүктелері 
сол жиынның құрамына кіретін болса, ондай жиынды 
тұйық 
жиын
 деп атайды.
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған 
М
 жиыны тұта-
сымен қандай да бір дөңгелекке енсе, ол 
шектелген жиын
 деп 
аталады.
§3. Көп айнымалыға тəуелді фунцияның шегі
Бізге 
ХОY
 жазықтығының 
Q
 
облысында анықталған 
z = f
(
x, y
)
функциясы берілсін жəне (
x
0

y
0
) осы облыстың бекіген бір нүктесі 
болсын. 
2.9
-
анықтама

Егер 
z = f
(
x, y
) функциясы (
x
0

y
0
) нүктесінің 
10-сурет.                                          11-сурет.


26
кейбір маңайында анықталып, (
x
0

y
0
)-ге ұмтылатын қандай да 
болмасын (
x
k

y
k
) нүктелер тізбегі үшін
k
0
k
0
k
k
x
x ,
y
y
lim f ( x , y )
A


=
шегі бар болса (жазылуы 
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
y
x

 ұмтылуында 
f
(
x, y
)
А

), онда 
f
(
x,y
) функциясы (
x
0

y
0
) нүктесінде 
0
0
x
x
y
y
lim f ( x, y )
A


=
 
түрінде белгіленетін жəне 
А
 санына тең шекке ие болады.
2.10
-
анықтама

z = f
(
x, y
) функциясы 
М
0
(
x
0

y
0
) нүктесінің 
кейбір маңайында анықталған болсын (бірақ 
М
0
(
x
0

y
0
) нүктесінің 
өзінде анықталмауы да мүмкін) деп ұйғарайық. Егер 
0
ε
∀ >
 
саны бойынша 
0
δ
>
 саны табылып, 
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
теңсіздігін 
қанағаттандыратын 
М
(
x, y
) нүктелері үшін 
( )
f x, y
A
ε

<
 тең-
сіздігі орындалатын болса, онда 
А
 санын 
( )
y
x
f
,
 функциясының 
0
0
x
x , y
y


 ұмтылуындағы
 
(немесе 
( )
(
)
0
0
0
M x, y
M x , y

-ге 
ұмтылуындағы) 
шегі
 
деп атайды жəне оны былай жазады:
( )
(
)
(
)
М
М
x
x
y
y
f x y
A немесе
f x y
A
M
M x y
Q M
M x y
Q
0
0
0
0
0
0
0
lim
( , )
lim ( , )
,
,
,
,
.



=
=
=

=

Бұл екі анықтама өзара эквивалентті анықтамалар.
Бір аргументті функциялардың шектері жəне оларды есептеу 
əдістері түгелдей көп аргументті функцияларға да қолданылады.
Үш, төрт жəне одан да көп айнымалы функциялардың шек-
терін жəне оларды есептеу дəл осылайша анықталады.
Көп айнымалы функциялардың үзіліссіздігі де бір айнымалы 
функцияның үзіліссіздігіндей анықталады.
§4. Көп айнымалыға тəуелді функцияның үзіліссіздігі
Айталық, 
z
f ( x, y )
=
 функциясы 
Q
 облысында анықталған 
болсын жəне 
0
0
0
М ( x , y )
 нүктесі 
Q
 жиынында жатқан осы 
жиынның шекара нүктесі болсын.
2.11
-
анықтама

Егер 
z
f ( М )
=
 функциясының 
0
М
М

 
нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның 
0
М
 нүктесіндегі 
0
f ( М )
 
мəніне тең, яғни 
0
0
М
М
lim f ( М )
f ( М )

=
 болса, онда 
f ( М )
 функ-


27
циясы 
0
М
 нүктесінде 
үзіліссіз функция
 деп аталады.  Мұндайда
0
0
М
М
lim f ( M )
f ( M )

=
 немесе 
0
0
0
0
x
x ,
y
y
lim f ( x, y )
f ( x , y )


=
 
деп жазатын 
боламыз. Мұндағы 
( )
M x, y
Q

 жəне 
(
)
0
0
0
M x , y
Q

. Қысқаша, 
егер 
0
0
0
0
x
x
у
у
lim f ( x )
f ( x ; y )


=
 болса, онда 
у=f(x)
 функциясы 
М
0

0

0
)
 
нүктесінде 
үзіліссіз функция
 делінеді. 
Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның 
М
0
 
нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да бір мынадай анықтамасын 
келтіруге болады:
2.12
-
анықтама

Егер 
0
ε
∀ >
 санына сəйкес 
( )
0
δ δ ε
=
>
саны табылып, 
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
  теңсіздігін қанағаттандыратын 
М
 нүктелері үшін 
( )
( )
0
f М
f М
ε

<
 теңсіздігі орындалса, 
U
f М
( )
=
 функциясы  
М
0
 нүктесінде 
үзіліссіз функция
 деп ата-
лады.
Мына 
0
0
х x
х, у y
у



=

=
 шамаларының əрқайсысы 
берілген 
z
f ( x, y )
=
 функциясының 
х, у 
аргументтерінің сəйкес 
өсімшелері, ал 
( )
(
)
0
0
f x, y
f x , y

 айырымы – функцияның 
өсімшесі, яғни 
( )
( )
(
)
0
0
z
f x, y
f x, y
f x , y


=
=

 екенін ескер-
сек, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің жоғарыда берілген 
анықтамасын былайша тұжырымдауға болады: егер аргу 
мент-
тердің ақырсыз кіші өсімшелеріне берілген функцияның да 
ақырсыз кіші өсімшесі сəйкес келсе, онда функция 
0
0
0
М ( x , y )
 
нүктесінде 
үзіліссіз
 деп аталады. Демек, егер 
z
f ( x, y )
=
 функ-
циясы 
0
М
 нүктесінде үзіліссіз болса, 
( )
0
0
М
М
М
М
lim
z
lim
f x, y
0




=
=
 
болады.
Егер 
z
f ( x, y )
=
 функциясы 
Q
 облысының əрбір нүктесінде 
үзіліссіз болса, онда бұл функцияны 
Q
 облысында 
үзіліссіз функ-
ция
 деп атайды.
Енді 
ХОY
 жазықтығының кейбір 
Q
 облысында үзіліссіз бо-
латын 
z
f ( x, y )
=
 функциясының қасиеттеріне тоқтайлық. Олар 
аралықта үзіліссіз болатын бір айнымалыға тəуелді функцияның 
қасиеттеріне ұқсас. 
1) Егер 
z
f ( М )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз 
болса, онда ол осы облыста шектелген функция болады. Демек:
 


28
K : f ( x, y )
K.

<
 
2) Егер 
z
f ( М )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста 
үзіліссіз болса, онда ол осы облыста өзінің дəл төменгі жəне 
жоғары мəніне жете алады.
3) Егер 
z
f ( x, y )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста 
үзіліссіз болса, ол сол облыста бірқалыпты үзіліссіз болады.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау