Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II


§7. Толық дифференциалды жуықтап есептеуде қолдану



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет10/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

§7. Толық дифференциалды жуықтап есептеуде қолдану
z
f ( x, y )
=
 функциясының дифференциалы анықтамасынан 
 
х

 пен 
у

-тің жеткілікті кіші болуында 
z
dz


                                         (2.6)
жуықталған теңдігі туындайды. Функцияның толық өсімшесі 
(
)
( )
z
f x
х, у
у
f x, y



=
+
+

 түрінде кескінделетіндіктен, ал-
дыңғы жуық теңдікті 
(
)
( )
( )
( )
/
/
х
y
f x
х, у
у
f x, y
f
x, y
х
f
x, y
у




+
+

+
+
        (2.7)


35
түрінде көшіріп жазуға болады. (2.7) теңдігін жуықталған есеп-
теулерде қолданады. 
Мысал
.
 
3,01
1,02
 өрнегінің жуықталған мəнін табу талап етіледі. 
Шешімі. 
y
z
x
=
 функциясын қарастырамыз. Сонда 
(
)
у
у
3,01
1,02
x
х
,


+
=
+
 мұнда 
х 1, х 0,02, y
3, у 0,01.


=
=
=
=
 
(2.7) форму ласын пайдаланайық. Алдын ала 
/
х
z
 жəне 
/
y
z
 дербес 
туындыларын табамыз:
( )
( )
/
/
/
y
y 1
/
y
y
х
у
х
у
z
x
у x
, z
x
x ln x.

=
= ⋅
=
=

Демек 
3,01
3
3 1
3
1,02
1
3 1
0,02 1 ln 1 0,01,

≈ + ⋅

+ ⋅

 атап айтқанда 
3,01
1,02
1,06.

 Салыстыру үшін осы өрнектің микрокалькулятор-
да есептелген мəні - 
3,01
1,02
1,061418168.

§8. Толық дифференциал нұсқасының инварианттылығы
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданып, 
толық дифференциалдың 
инварианттылық қасиетке
 ие бо-
латынын көрсетуге болады. Атап айтқанда, 
z
f ( x, y )
=
 функ-
циясының толық дифференциалы оның аргументтері айныма-
лы немесе тəуелсіз айнымалылардың функциялары болуына 
қарамастан түрін өзгертпейді.
Шынында, 
z
f ( x, y )
=
 болсын, мұнда 
х 
пен
 у
 - тəуелсіз айны-
малылар. Онда (1-ретті немесе толық дифференциал)
z
z
dz
dx
dy
х
y


=
+


түріндегідей жазылады ((2.3) формула).
х 
жəне
 у 
айнымалылары 
х
х( u,v ), y
y( u,v )
=
=
 
түрінде кескінделген 
(
)
z
f ( x, y )
f х( u,v ), y( u,v )
F( u,v )
=
=
=
 
күрделі функциясын қарастырайық, мұнда 
u,v
 - тəуелсіз айныма-
лылар. Сонда


36
F
F
z
z
z x
z y
dz
du
dv
du
dv
du
u
v
u
v
х u
y u
z x
z y
z
x
x
z
y
y
dv
du
dv
du
dv
х v
y v
х
u
v
y
u
v
.






∂ ∂
∂ ∂
=
+
=
+
=
+
+






 ∂ ∂
∂ ∂ 


∂ ∂
∂ ∂










+
+
=
+
+
+










 ∂ ∂
∂ ∂ 






Мұндағы соңғы жақшалардағы өрнектер 
х
х u v
( , )
=
 жəне 
)
,
(
v
u
y
y
=
 функцияларының 
x
x
dx
du
dv
u
v


=
+


 жəне 
y
y
dy
du
dv
u
v


=
+


түріндегі толық дифференциалдары болып табылады. Демек осы 
жағдайда да 
z
z
dz
dx
dy
х
y


=
+


болуын көріп отырмыз.
§9. Айқындалмаған функцияны дифференциалдау
z-
ке қатысты шешілмеген 
F x y z
( , , ) 0
=
                                     (2.8)
теңдеуімен берілген 
z
f ( x, y )
=
 функциясын 
айқындалмаған 
функция
 дейді. (2.8) теңдеуімен берілген айқындалмаған 
функцияның 
z
х


 жəне 
z
y


 дербес туындыларын табайық. Ол үшін 
теңдеудегі 
z-
тің орнына 
f ( x, y )
 функциясын енгізіп,
F x y f x y
( , , ( , )) 0

тепе-теңдігін аламыз. Тепе-тең нөлге тең функциясының дербес 
туындылары да нөлге тең:
F
F
z
F( x, y, f ( x, y ))
0
х
х
z
х




=
+

=




(
у-
ті тұрақты деп санаймыз),
F
F
z
F( x, y, f ( x, y ))
0
у
у
z
у




=
+

=




(
х-
ті тұрақты деп санаймыз).


37
Осыдан
(
)
y
х
z
z
z
F
F
z
z
F
х
F
y
F
/
/
/
/
/
,
,
0 .


= −
= −



                   (2.9)
Ескерту 1.
 
(2.8) түріндегі теңдеу бір айнымалыны қалған екі 
айнымалыға тəуелді айқындалмаған функция ретінде əрдайым 
анықтай бере алмайды. Мəселен, 
2
2
2
x
y
z
4 0
+
+
− =
 теңдеуі 
2
2
x
y
4
+

 дөңгелегінде 
2
2
2
2
1
2
z
4 x
y , z
4 x
y
=


= −


 
функцияларын анықтайтын болса, 
2
2
3
z
4 x
y
=


 функ-
циясын 
у 0

 болуында 
2
2
x
y
4
+

 дөңгелегінде анықтайды, 
т.с.с., ал 
(
)
cos x 2 y 3z
4 0
+
+
− =
 теңдеуі бірде-бір функцияны 
анықтамайды.
Айқындалмаған функцияның бар болу теорема-
сы
 
орынды: Егер 
F( x, y, z )
 функциясымен бірге оның 
/
/
/
х
y
z
F ( x, y, z ), F ( x, y, z ), F ( x, y, z )
 дербес туындылары 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесінің кейбір аймағында анықталып, үзіліссіз 
жəне 
/
0
0
0
z
0
0
0
F( x , y , z ) 0, F ( x , y , z ) 0
=

 болса, онда (2.8) теңдеуі 
0
0
( x , y )
 нүктесі аймағында үзіліссіз жəне дифференциалдамалы, 
0
0
0
f ( x , y )
z
=
 болатындай жəне жалғыз 
z
f ( x, y )
=
 функциясын 
анықтайтындай 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесінің аймағы табылады.
Ескерту 2

Бір айнымалыға тəуелді 
у
f ( x )
=
 айқындалмаған 
функциясы 
F( x, y ) 0
=
 теңдеуімен беріледі. Айқындалмаған 
функцияның бар болу шарттары орындалатын болса (келтірген 
теоремаға ұқсас теорема бар), онда айқындалмаған функцияның 
туындысы
(
)
х
х
у
у
F
у
F
F
/
/
/
/
,
0
= −

формуласы бойынша есептелінеді.
1-мысал
.
 
z
2
e
z x y 1 0
+ −
+ =
 теңдеуімен берілген 

функция-
сының дербес туындыларын табу талап етіледі. 
Шешімі.
 
Мұнда 
z
2
/
/
2
х
y
F( x, y, z ) e
z x y 1, F
2ху, F
x ,
=
+ −
+
= −
= −
 
/
z
z
F
e
1.
=
+
 (2.9) формулалары бойынша 
z
z
z
ху
z
х
х
e
y
e
2
2
,
.
1
1


=
=

+

+


38
2-мысал
.
 
у
f ( x )
=
 айқындалмаған функциясы 
y
у
х
3
2
2
+
=
 
теңдеуімен берілген. 


 туындысын табу талап етіледі. 
Шешімі.
 
Мұнда 
F x y
y
у
х
3
( , )
2
2 ,
=
+

х
y
F
F
y
/
/
2
2,
3
2.
= −
=
+
Демек 
х
у
y
/
2
2
,
3
2

= −
+
 атап айтқанда 


y
2
2
.
3
2
=
+
§10. Беттің жанама жазықтығы мен нормалі
Екі айнымалыға тəуелді функция туындыларының гео-
метриялық қолданбасын қарастырайық. 
z
f ( x, y )
=
 функциясы 
кейбір 
2
D R

 облысының 
0
0
( x , y )
 нүктесінде дифференциал-
дамалы болсын. 

функциясын бейнелейтін 

бетін 
0
х
х
=
 жəне 
0
у
y
=
 жазықтықтарымен қияйық (13-сурет). 
0
х
х
=
 жазықтығы 

бетін қандай да 
( )
0
z у
 сызығы бойынша қиятын болсын; сызықтың 
теңдеуі бастапқы 
z
f ( x, y )
=
 функциясындағы 
х-
ті 
M
0
 санымен 
алмастырғаннан 
0
z
f ( x , y )
=
 түрінде шығады. 
0
0
0
0
0
М ( x , y , f ( x , y ))
 
нүктесі 
( )
0
z у
 сызығына тиіс. 

функциясының 
0
М
 нүктесінде 
дифференциалдамалы болғандықтан
( )
0
z у
 функциясы да 
0
у
y
=
 
нүктесінде дифференциалдамалы болады. Демек осы нүктеде 
0
х
х
=
 жазықтығындағы 
( )
0
z у
 сызығына 
l

жанамаcын жүргізуге 
болады. 
0
у
y
=
 қимасына айтқанға ұқсас талқылау өткізіп, 
( )
0
z х
 
қисығының 
0
х
х
=
 нүктесінде 
l

жанамаcын жүргіземіз. 
l

жəне 
l
2
 
түзулері 
α 
жазықтығын анықтайды. Оны 

бетінің 
M
0
 нүктесіндегі 
жанама жазықтығы
 дейді. Осы жазықтық теңдеуін құрайық. 
α 
жазықтығы 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесі арқылы өтетіндіктен, оның 
теңдеуін 
(
) (
) (
)
0
0
0
A x x
B y y
C z z
0

+

+

=
түрінде жазуға болады. Теңдеудің екі жағын 
С-
ға бөліп, 
1
1
А
В
А ,
В
С
С
=
=


 белгілеулерін енгізген соң, оны 
(
)
(
)
0
1
0
1
0
z z
A x x
B y y

=

+

                     (2.10)
түріне келтіреміз. 
A
1
 
жəне 
B
1
-ді табайық. 
l

жəне 
l

жанамаларының 
теңдеулері сəйкесінше


39
(
)
(
)
y
х
z z
f x y
y y
x
x
z z
f x y
x x
y
y
/
0
0
0
0
0
/
0
0
0
0
0
( , )
,
,
( , )
,

=

=

=

=
түрінде жазылады.
l

жанамасы 
α
 жазықтығына тиісті, демек 
l
1
-дің барлық 
нүктелерінің координаталары (2.10) теңдеуін қанағаттандырады, 
олай болса осы айтқанымызды 
(
)
(
)
(
)
y
z z
f x y
y y
x
x
z z
А x x
В y y
/
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
( , )
,
,
 − =


=

 − =

+


жүйесі түрінде кескіндеуге болады. Жүйені 
1
В
-ге қатысты шешіп, 
/
1
y
0
0
В
f ( x , y )
=
 болатынын шығарып аламыз.
l

жанамасына осы істегенімізді қайталап, 
/
1
х
0
0
А
f ( x , y )
=
 
екенін шығарып аламыз. 
1
А
 жəне 
1
В
 мəндерін (2.10) теңдеуіне 
енгізіп, жанама жазықтықтың ізделінді теңдеуін
(
)
(
)
/
/
0
х
0
0
0
y
0
0
0
z z
f ( x , y ) x x
f ( x , y ) y y

=

+

         (2.11)
түрінде табамыз. Мұндайда 
0
М
 нүктесін 
жанасу нүктесі
 дейді. 
2.14
-
анықтама

0
М
 жанасу нүктесіндегі жанама жазықтыққа 
перпендикуляр түзуді сол нүктедегі 
беттің нормалі
 дейді.
 
Түзу мен жазықтықтың перпендикуляр болу шартын пай-
далана (Математика І, VI тарау) еш қиындықсыз нормальдың 
теңдеулерін
х
y
x x
y y
z z
f x y
f x y
0
0
0
/
/
0
0
0
0
( , )
( , )
1



=
=

                  (2.12)
түрінде шығарып аламыз.
Егер 

беті 
F x y z
( , , ) 0
=
 теңдеуімен берілсе, онда (2.11) 
жəне (2.12) теңдеулері, дербес туындылардың, айқындалмаған 
функцияның дербес туындылары арқылы
у
х
х
у
z
z
F x y
F x y
f x y
f x y
F x y
F x y
/
/
0
0
/
/
0
0
0
0
0
0
/
/
0
0
0
0
( , )
( , )
( , )
,
( , )
( , )
( , )
= −
= −
өрнектелулеріне байланысты (§9,( 2.9) формулалары) сəйке 
-
сінше


40
(
)
(
)
(
)
х
у
z
F x y
x x
F x y
y y
F x y
z z
/
/
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( , )
( , )
( , )
0

+

+

=
жəне
х
у
z
x x
y y
z z
F x y
F x y
F x y
0
0
0
/
/
/
0
0
0
0
0
0
( , )
( , )
( , )



=
=
түріне келеді.
Ескерту

Беттің жанама жазықтығы мен нормалінің тең-
деулері жай нүктелер үшін, атап айтқанда беттің ерекше емес 
нүктелері үшін жазылып отыр. Барлық дербес туындыларын 
нөлге айналдыратын немесе, ең болмағанда, бір дербес туын-
дысын болғызбайтын 
M
0
 нүктесін 
ерекше нүкте
 дейді. Мұндай 
нүктелерді қарастырмаймыз.
Мысал
.
 
2
2
z
x
у
=
+
 айналу параболоидының 
M

(2,1,5)  
нүктесінде жүргізілген жанама жазықтығы мен нормалінің 
теңдеулерін жазу талап етіледі. 
Шешімі.
 
Мұнда 
/
/
/
/
х
y
х
y
z
x, z
y; z ( , )
, z ( , )
.
=
=
=
=
2
2
2 1
4
2 1
2
 (2.11) 
жəне (2.12) теңдеулері бойынша жанама жазықтықтың теңдеуін 
z
х
у
− =
− +

5 4(
2) 2(
1)
 немесе 
x
y z
+
− − =
4
2
5 1
түрінде жəне нормаль теңдеуін 
х
у
z



=
=

2
1
5
4
2
1
түрінде табамыз. 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау