Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет5/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

7
Дəлелдеме
.
 Шектің анықтамасы бойынша 
0
)
(
lim
0
0
=


a
t
a
t
t
                                   (1.11)
болатындығы дəлелдену керек.
Үшбұрыштың белгілі қасиеті бойынша (үшбұрыштың кез 
келген қабырғасы қалған 2 қабырғасының қосындысынан арт-
пайды жəне олардың айырымынан кем емес) (5-сурет): 
0
0
)
(
)
(
a
t
a
a
t
a



Олай болса (1.9) бірден (1.11)-ге келтіреді. Төмендегі теоре-
ма лардың  тұжырымдарында 
)
(
),
(
t
b
t
a
 вектор-функция ларының, 
m
(
t
), 
n
(
t
),… скаляр функцияларының 
t
 -ның 
t
0
 -ге ұмтылғанда 
шектері бар жəне олар сəйкес 
,...
,
,...,
,
0
0
0
0
n
m
b
a
 ге тең деп санай-
мыз, яғни
 
 
        
,...
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
0
0
b
t
b
a
t
a
t
t
t
t
=
=


                               (1.12)
 
 
     
,...
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
0
0
n
t
n
m
t
m
t
t
t
t
=
=


   
Теорема 1.3
.
 Вектор-функциялар қосындысының шегі бар 
жəне ол қосылғыш вектор-функциялар шектерінің қосындысына 
тең.
Дəлелдеме
.
 Екі вектор-функцияның қосындысын алайық: 
).
(
)
(
t
b
t
a
+
. Векторлар қосындысының модулі олардың модуль-
дерінің қосындысынан артпайтындықтан,
{
} {
}
{
}
{
}
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a

+



+

=
+

+
Соңғы қосындыдағы əр қосылғыш (1.9) жəне (1.12)-ге сүйене 
отырып, нөлге ұмтылады.
Демек
{
} {
}
0
)
(
)
(
0
0

+

+
b
a
t
b
t
a


8
Олай болса 
 
{
}
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
0
t
b
t
a
b
a
t
b
t
a
t
t
t
t
t
t



+
=
+
=
+
.           (1.13)
Теорема 1.4
.
 
m t a t
a t b t
( ) ( ), ( ( ), ( ))


)
(
)
(
t
b
t
a
×
 түрін 
дегі көбей-
тінділердің шектері бар жəне олар сəйкес 
0
0
0
0
0
0
,
,
b
a
b
a
a
m
×


 
көбейтін ділеріне  тең.
Дəлелдеме
.
 
{
} {
}
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m

+

=

теңдігінен 
 
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m

+



болатыны шығады. (1.12) қатынастарының күшімен соңғы теңсіз-
дік 
тің оң жағындағы 
0
)
(
a
t
a

 жəне 
0
)
(
m
t
m

 көбейткіш 
тері 
0
t
t

 жағдайында нөлге ұмтылады. Олай болса
 
0
)
(
)
(
lim
0
0
0
=


a
m
t
a
t
m
t
t
яғни 
 
.
)
(
)
(
lim
0
0
0
a
m
t
a
t
m
t
t
=

Əрі қарай, скаляр көбейтіндісінің белгілі қасиеттері бойынша 
 
(
)
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
)
(
),
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a

+

=

.
Бұдан алдыңғыға ұқсас
 
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
))
(
),
(
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a

+



                              
Кез келген 
p
 жəне 
q
 векторлары үшін 
 
q
p
q
p
q
p
q
p




=

)
,
cos(
 


9
болғандықтан,
a t b t
a b
a t
a b t
a b t
b
0
0
0
0
0
( ( ), ( )) ( , )
( ( )
( )
( )



+

.
(1.12) қатынастары бойынша 
0
)
(
(
a
t
a

 жəне 
0
)
(
b
t
b

 
көбейткіштерінің нөлге ұмтылуынан жазылған теңсіздіктің оң 
жағы нөлге ұмтылады, демек
t
t
a t b t
a b
0
0
0
lim( ( ), ( ))
.

=

Енді кез келген 
p
 жəне 
q
 векторлары үшін
q
p
q
p
q
p
q
p







 ∧

=
×
,
sin
болғандықтан
(
)
(
)
(
)
(
)
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a


+




×
+
×




×
+
×

=
×

×
(1.12) қатынастарының күшімен теңсіздіктің оң жағы нөлге ұм-
тылады, демек
.
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
b
a
t
b
t
a
t
t
×
=
×

Теорема дəлелденді.
§3. Вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен 
дифференциалдануы. Вектор-функцияларды 
дифференциалдау ережелері
Вектор-функция ұғымының арқасында 1 аргументті вектор-
функциясы үзіліссіздігі мен дифференциалдануының анықта ма-
сын енгізейік.


10
1.4-анықтама

Егер
)
(
)
(
lim
0
0
t
a
t
a
t
t
=

                              
(1.14)
болса, 
)
(
t
a
 вектор-функциясы 
0
t
t
=
 мəнінде үзіліссіз деп 
аталады
.
1.5-анықтама. 
)
(
t
a
 вектор-функциясының 
)
(
)
(
)
(
lim
0
/
0
0
0
t
a
t
t
t
a
t
a
t
t
=



                         
(1.15)
шегі бар болса, оны 
0
t
t
=
 мəнінде дифференциалданатын 
вектор-функция дейміз.
)
(
0
t
a

 
векторы айтылған вектор-функцияның 
0
t
t
=
 нүкте-
сінде алынған туындысы
 делінеді. Егер 
)
(
t
a
 вектор-функция-
сының туындысы 
2
1
t
t
t


 кесіндісінің əрбір 
t
 мəнінде бар бол-
са, онда 
)
(
t
a

 функциясы 
t
 - ға тəуелді вектор-функция болады. 
Егер 
)
(
t
a

 функциясы үзіліссіз жəне дифференциалдамалы бол-
са, оның туындысы 
)
(
t
a
 вектор-функциясының екінші туынды-
сы деп аталады да, 
)
(
t
a
′′
 деп белгіленеді.
Төменде екі жəне саны одан кем болмайтын скаляр аргумент-
ті вектор-функцияларды қарастырамыз. Бұл жағдайда кəдімгі 
анализдегідей дербес туындылар, аргументтерінің бірі арқылы 
туынды ретінде анықталады.
Вектор-функция шегінің қасиеттерін пайдалана отырып, век-
тор-функция үзіліссіздігінің төмендегі қасиеттерін дəлелдеу 
қиын емес:
1) үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы үзіліссіз век-
тор-функция болады;
2) үзіліссіз вектор-функциялардың (бірі скаляр, бірі вектор-
функ ция) 
)
(
)
(
t
a
t
m
 көбейтіндісі үзіліссіз вектор-функция;
3) үзіліссіз вектор-функциялардың скаляр көбейтіндісі үзіліс-
сіз функция;


11
4) екі үзіліссіз вектор-функциялардың векторлық көбей тіндісі 
үзіліссіз вектор-функция.
Енді вектор-функцияларды дифференциалдау ережелеріне 
тоқ  тайық.
Туындының 
)
(
t
r

 белгілеуімен қатар, 
dr
dt
 белгілеуін қол-
данамыз.
Теорема 1.5
.
 
Векторлар қосындысының туындысы қосылғыш-
тардың туындыларының қосындысына  тең, яғни
{
}
d
da( t ) db( t )
a( t ) b( t ) ....
...
dt
dt
dt
+
+
=
+
+
    (1.16)
Теңдеудің дəлелдеуін келесі теңдіктен алуға болады:
{
}
{
}
.....
)
(
)
(
...
....
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
+


+


=

+
+

+
+
t
t
b
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
Бұған қоса 1.3-теорема жəне 1.5-анықтаманы пайдалану ке-
рек.
Теорема 1.6
.
 Скаляр функцияның вектор-функцияға көбейтін-
дісінің туындысы 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
t
a
t
m
t
a
t
m
t
a
t
m

+

=

                 (1.17)
формуласы бойынша есептелінеді.
Теореманың дəлелдемесі
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
a
t
a
t
m
a
t
t
m
t
m
t
t
a
m
t
a
t
m


+


=


тендігі негізінде алынады.
Салдар
.
 Векторлы немесе скалярлы тұрақты көбейткішті 
туынды белгісінің сыртына шығарып алуға болады, яғни 
const
c
const
=
=
,
λ
 болғанда


12
      
(
)
(
)
d
da( t )
d
dm( t )
a( t )
,
m( t )c
c
dt
dt
dt
dt
λ
λ
=
=
      (1.18)
Теорема 1.7
.
 Вектор-функциялардың скаляр жəне векторлық 
көбейтінділерінің туындысы төмендегі формулалар арқылы 
есептеледі:
 
 
( )
d
da
db
a,b
,b
a,
dt
dt
dt




=
+

 


 

,                              (1.19)
 
 
(
)
d
da
db
a b
b
a
dt
dt
dt




×
=
×
+
×

 


 

Бұл теореманың дəлелдемесі төмендегі 
(
) (
)
a t b t
a b
a t
a
b t
b
b t
a
t t
t t
t t
0
0
0
0
0
0
0
0
( ), ( )
,
( )
( )
, ( )
,
,


 



=
+

 





 

0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
b
t
b
a
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a


×
+
×


=

×

×
теңдіктерінен шығады.
Теорема 1.8
.
 1) 
t
 = 
t
(
s
) скаляр функциясының қайсібір 
s
=
s
0
 
нүктесінде 
)
(
0
s
t
t
s

=

 туындысы болып; 2) 
)
(
t
r
r
=
 вектор-
функцияcының сəйкес 
0
0
)
(
t
s
t
=
 нүктесінде 
)
(
0
/
t
r
r
t

=
 туындысы 
болсын. Сонда күрделі 
)
(
0
t
r
r
t

=
 вектор-функцияcының 
s = s
0
 
нүктесіндегі туындысы 
)
(
t
r
 жəне 
)
(
s
t
 функциялары туынды-
ларының көбейтіндісіне тең, яғни 
( )
( )
/
/
/
s
t
s
t
r
s
t
r

=
                               (1.20)
Теореманың дəлелдемесі


13
( )
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
s
s
s
t
s
t
t
t
t
r
t
r
s
s
s
t
r
s
t
r





=


теңдігінен шығады, мұнда 
( )
0
0
s
t
t
=
.
Бұл теорема скаляр айнымалыны ауыстырғанда вектор-
функ 
ция туындысының бағыты өзгермейтінін, ал ұзындығы 
өзгеретінін көрсетеді. 1.5 - 1.8 теоремаларынан вектор-функция-
ларды дифференциалдаудың негізгі ережелері скаляр функ-
циялардың сəйкес ережелерімен беттесетіндігі шығады. Аралас 
көбейтіндінің туындысы
(
) (
) (
) (
)
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a

+

+

=

,
,
,
,
,
,
,
,
              (1.21)
формуласы бойынша есептеледі.
Дербес туындыларды есептеу ережелері мен формулалары 
кəдімгі анализдегідей. Оларға мынадай белгілеулер қолданамыз
(
) ( )
,
,
,
lim
0
u
u
r
u
r
u
v
u
r
v
u
u
r
=


=



+


           (1.22)
                
(
) ( )
.
,
,
lim
0
v
v
r
v
r
r
v
u
r
v
v
u
r
=


=



+


Теорема 1.9
.
 
( )
t
r
 вектор-функциясының үзіліссіздігі мен 
дифференциалдануының қажетті жəне жеткілікті шарты оның 
x
 = 
x
(
t
),  
y = y
(
t
),  
z = z
 (
t
)
координаталарының үзіліссіздігі мен дифференциалдануында.
Дəлелдеме
.
 Жеткіліктілікті дəлелдейік. 
x = x
(
t
), 
y = y
(
t
), 
z = z
(
t

скаляр функциялары үзіліссіз (дифференциалдамалы) болсын, 
онда қосынды мен көбейтіндінің үзіліссіздігі (дифференциалда-
ну)  қасиеттерінен
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
вектор-функциясы үзіліссіз (дифференциалдамалы).


14
Қажеттілік
.
 
( )
t
r
 вектор-функциясы үзіліссіз (дифференци-
алдамалы) болсын. Скаляр көбейтіндісінің үзіліссіз (дифферен-
циалдамалы) болу қасиетінен
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
k
t
r
t
z
j
t
r
t
y
i
t
r
t
x
,
,
,
,
,
=
=
=
координаталарының да үзіліссіз (дифференциалдамалы) болатын-
дығы шығады. Теорема дəлелденді.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау