7
Дəлелдеме
.
Шектің анықтамасы бойынша
0
)
(
lim
0
0
=
−
→
a
t
a
t
t
(1.11)
болатындығы дəлелдену керек.
Үшбұрыштың белгілі қасиеті бойынша (үшбұрыштың кез
келген қабырғасы қалған 2 қабырғасының қосындысынан арт-
пайды жəне олардың айырымынан кем емес) (5-сурет):
0
0
)
(
)
(
a
t
a
a
t
a
−
≤
−
Олай болса (1.9) бірден (1.11)-ге келтіреді. Төмендегі теоре-
ма лардың тұжырымдарында
)
(
),
(
t
b
t
a
вектор-функция ларының,
m
(
t
),
n
(
t
),… скаляр функцияларының
t
-ның
t
0
-ге ұмтылғанда
шектері бар жəне олар сəйкес
,...
,
,...,
,
0
0
0
0
n
m
b
a
ге тең деп санай-
мыз, яғни
,...
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
0
0
b
t
b
a
t
a
t
t
t
t
=
=
→
→
(1.12)
,...
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
0
0
n
t
n
m
t
m
t
t
t
t
=
=
→
→
Теорема 1.3
.
Вектор-функциялар қосындысының шегі бар
жəне ол қосылғыш вектор-функциялар шектерінің қосындысына
тең.
Дəлелдеме
.
Екі вектор-функцияның қосындысын алайық:
).
(
)
(
t
b
t
a
+
. Векторлар қосындысының модулі олардың модуль-
дерінің қосындысынан артпайтындықтан,
{
} {
}
{
}
{
}
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
≤
−
+
−
=
+
−
+
Соңғы қосындыдағы əр қосылғыш (1.9) жəне (1.12)-ге сүйене
отырып, нөлге ұмтылады.
Демек
{
} {
}
0
)
(
)
(
0
0
→
+
−
+
b
a
t
b
t
a
8
Олай болса
{
}
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
0
t
b
t
a
b
a
t
b
t
a
t
t
t
t
t
t
→
→
→
+
=
+
=
+
. (1.13)
Теорема 1.4
.
m t a t
a t b t
( ) ( ), ( ( ), ( ))
⋅
,
)
(
)
(
t
b
t
a
×
түрін
дегі көбей-
тінділердің шектері бар жəне олар сəйкес
0
0
0
0
0
0
,
,
b
a
b
a
a
m
×
⋅
⋅
көбейтін ділеріне тең.
Дəлелдеме
.
{
} {
}
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m
−
+
−
=
−
теңдігінен
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
m
t
m
a
t
a
t
m
a
m
t
a
t
m
−
+
−
≤
−
болатыны шығады. (1.12) қатынастарының күшімен соңғы теңсіз-
дік
тің оң жағындағы
0
)
(
a
t
a
−
жəне
0
)
(
m
t
m
−
көбейткіш
тері
0
t
t
→
жағдайында нөлге ұмтылады. Олай болса
0
)
(
)
(
lim
0
0
0
=
−
→
a
m
t
a
t
m
t
t
яғни
.
)
(
)
(
lim
0
0
0
a
m
t
a
t
m
t
t
=
→
Əрі қарай, скаляр көбейтіндісінің белгілі қасиеттері бойынша
(
)
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
)
(
),
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
=
−
.
Бұдан алдыңғыға ұқсас
(
)
0
0
0
0
0
)
(
,
))
(
,
)
(
(
)
,
(
))
(
),
(
(
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
+
−
≤
−
Кез келген
p
жəне
q
векторлары үшін
q
p
q
p
q
p
q
p
⋅
≤
⋅
⋅
=
⋅
)
,
cos(
9
болғандықтан,
a t b t
a b
a t
a b t
a b t
b
0
0
0
0
0
( ( ), ( )) ( , )
( ( )
( )
( )
−
≤
−
+
−
.
(1.12) қатынастары бойынша
0
)
(
(
a
t
a
−
жəне
0
)
(
b
t
b
−
көбейткіштерінің нөлге ұмтылуынан жазылған теңсіздіктің оң
жағы нөлге ұмтылады, демек
t
t
a t b t
a b
0
0
0
lim( ( ), ( ))
.
→
=
⋅
Енді кез келген
p
жəне
q
векторлары үшін
q
p
q
p
q
p
q
p
⋅
≤
∧
⋅
=
×
,
sin
болғандықтан
(
)
(
)
(
)
(
)
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
t
b
a
t
b
a
t
a
b
a
t
b
t
a
−
⋅
+
⋅
−
≤
−
×
+
×
−
≤
≤
−
×
+
×
−
=
×
−
×
(1.12) қатынастарының күшімен теңсіздіктің оң жағы нөлге ұм-
тылады, демек
.
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
b
a
t
b
t
a
t
t
×
=
×
→
Теорема дəлелденді.
§3. Вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен
дифференциалдануы. Вектор-функцияларды
дифференциалдау ережелері
Вектор-функция ұғымының арқасында 1 аргументті вектор-
функциясы үзіліссіздігі мен дифференциалдануының анықта ма-
сын енгізейік.
10
1.4-анықтама
.
Егер
)
(
)
(
lim
0
0
t
a
t
a
t
t
=
→
(1.14)
болса,
)
(
t
a
вектор-функциясы
0
t
t
=
мəнінде үзіліссіз деп
аталады
.
1.5-анықтама.
)
(
t
a
вектор-функциясының
)
(
)
(
)
(
lim
0
/
0
0
0
t
a
t
t
t
a
t
a
t
t
=
−
−
→
(1.15)
шегі бар болса, оны
0
t
t
=
мəнінде дифференциалданатын
вектор-функция дейміз.
)
(
0
t
a
′
векторы айтылған вектор-функцияның
0
t
t
=
нүкте-
сінде алынған туындысы
делінеді. Егер
)
(
t
a
вектор-функция-
сының туындысы
2
1
t
t
t
≤
≤
кесіндісінің əрбір
t
мəнінде бар бол-
са, онда
)
(
t
a
′
функциясы
t
- ға тəуелді вектор-функция болады.
Егер
)
(
t
a
′
функциясы үзіліссіз жəне дифференциалдамалы бол-
са, оның туындысы
)
(
t
a
вектор-функциясының екінші туынды-
сы деп аталады да,
)
(
t
a
′′
деп белгіленеді.
Төменде екі жəне саны одан кем болмайтын скаляр аргумент-
ті вектор-функцияларды қарастырамыз. Бұл жағдайда кəдімгі
анализдегідей дербес туындылар, аргументтерінің бірі арқылы
туынды ретінде анықталады.
Вектор-функция шегінің қасиеттерін пайдалана отырып, век-
тор-функция үзіліссіздігінің төмендегі қасиеттерін дəлелдеу
қиын емес:
1) үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы үзіліссіз век-
тор-функция болады;
2) үзіліссіз вектор-функциялардың (бірі скаляр, бірі вектор-
функ ция)
)
(
)
(
t
a
t
m
көбейтіндісі үзіліссіз вектор-функция;
3) үзіліссіз вектор-функциялардың скаляр көбейтіндісі үзіліс-
сіз функция;
11
4) екі үзіліссіз вектор-функциялардың векторлық көбей тіндісі
үзіліссіз вектор-функция.
Енді вектор-функцияларды дифференциалдау ережелеріне
тоқ тайық.
Туындының
)
(
t
r
′
белгілеуімен қатар,
dr
dt
белгілеуін қол-
данамыз.
Теорема 1.5
.
Векторлар қосындысының туындысы қосылғыш-
тардың туындыларының қосындысына тең, яғни
{
}
d
da( t ) db( t )
a( t ) b( t ) ....
...
dt
dt
dt
+
+
=
+
+
(1.16)
Теңдеудің дəлелдеуін келесі теңдіктен алуға болады:
{
}
{
}
.....
)
(
)
(
...
....
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
+
−
−
+
−
−
=
−
+
+
−
+
+
t
t
b
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
Бұған қоса 1.3-теорема жəне 1.5-анықтаманы пайдалану ке-
рек.
Теорема 1.6
.
Скаляр функцияның вектор-функцияға көбейтін-
дісінің туындысы
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
t
a
t
m
t
a
t
m
t
a
t
m
′
+
′
=
′
(1.17)
формуласы бойынша есептелінеді.
Теореманың дəлелдемесі
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
a
t
a
t
m
a
t
t
m
t
m
t
t
a
m
t
a
t
m
−
−
+
−
−
=
−
−
тендігі негізінде алынады.
Салдар
.
Векторлы немесе скалярлы тұрақты көбейткішті
туынды белгісінің сыртына шығарып алуға болады, яғни
const
c
const
=
=
,
λ
болғанда
12
(
)
(
)
d
da( t )
d
dm( t )
a( t )
,
m( t )c
c
dt
dt
dt
dt
λ
λ
=
=
(1.18)
Теорема 1.7
.
Вектор-функциялардың скаляр жəне векторлық
көбейтінділерінің туындысы төмендегі формулалар арқылы
есептеледі:
( )
d
da
db
a,b
,b
a,
dt
dt
dt
=
+
, (1.19)
(
)
d
da
db
a b
b
a
dt
dt
dt
×
=
×
+
×
Бұл теореманың дəлелдемесі төмендегі
(
) (
)
a t b t
a b
a t
a
b t
b
b t
a
t t
t t
t t
0
0
0
0
0
0
0
0
( ), ( )
,
( )
( )
, ( )
,
,
−
−
−
=
+
−
−
−
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
b
t
b
a
t
b
t
t
a
t
a
t
t
b
a
t
b
t
a
−
−
×
+
×
−
−
=
−
×
−
×
теңдіктерінен шығады.
Теорема 1.8
.
1)
t
=
t
(
s
) скаляр функциясының қайсібір
s
=
s
0
нүктесінде
)
(
0
s
t
t
s
′
=
′
туындысы болып; 2)
)
(
t
r
r
=
вектор-
функцияcының сəйкес
0
0
)
(
t
s
t
=
нүктесінде
)
(
0
/
t
r
r
t
′
=
туындысы
болсын. Сонда күрделі
)
(
0
t
r
r
t
′
=
вектор-функцияcының
s = s
0
нүктесіндегі туындысы
)
(
t
r
жəне
)
(
s
t
функциялары туынды-
ларының көбейтіндісіне тең, яғни
( )
( )
/
/
/
s
t
s
t
r
s
t
r
⋅
=
(1.20)
Теореманың дəлелдемесі
13
( )
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
s
s
s
t
s
t
t
t
t
r
t
r
s
s
s
t
r
s
t
r
−
−
⋅
−
−
=
−
−
теңдігінен шығады, мұнда
( )
0
0
s
t
t
=
.
Бұл теорема скаляр айнымалыны ауыстырғанда вектор-
функ
ция туындысының бағыты өзгермейтінін, ал ұзындығы
өзгеретінін көрсетеді. 1.5 - 1.8 теоремаларынан вектор-функция-
ларды дифференциалдаудың негізгі ережелері скаляр функ-
циялардың сəйкес ережелерімен беттесетіндігі шығады. Аралас
көбейтіндінің туындысы
(
) (
) (
) (
)
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
′
+
′
+
′
=
′
,
,
,
,
,
,
,
,
(1.21)
формуласы бойынша есептеледі.
Дербес туындыларды есептеу ережелері мен формулалары
кəдімгі анализдегідей. Оларға мынадай белгілеулер қолданамыз
(
) ( )
,
,
,
lim
0
u
u
r
u
r
u
v
u
r
v
u
u
r
=
∂
∂
=
∆
−
∆
+
→
∆
(1.22)
(
) ( )
.
,
,
lim
0
v
v
r
v
r
r
v
u
r
v
v
u
r
=
∂
∂
=
∆
−
∆
+
→
∆
Теорема 1.9
.
( )
t
r
вектор-функциясының үзіліссіздігі мен
дифференциалдануының қажетті жəне жеткілікті шарты оның
x
=
x
(
t
),
y = y
(
t
),
z = z
(
t
)
координаталарының үзіліссіздігі мен дифференциалдануында.
Дəлелдеме
.
Жеткіліктілікті дəлелдейік.
x = x
(
t
),
y = y
(
t
),
z = z
(
t
)
скаляр функциялары үзіліссіз (дифференциалдамалы) болсын,
онда қосынды мен көбейтіндінің үзіліссіздігі (дифференциалда-
ну) қасиеттерінен
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
вектор-функциясы үзіліссіз (дифференциалдамалы).
14
Қажеттілік
.
( )
t
r
вектор-функциясы үзіліссіз (дифференци-
алдамалы) болсын. Скаляр көбейтіндісінің үзіліссіз (дифферен-
циалдамалы) болу қасиетінен
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
k
t
r
t
z
j
t
r
t
y
i
t
r
t
x
,
,
,
,
,
=
=
=
координаталарының да үзіліссіз (дифференциалдамалы) болатын-
дығы шығады. Теорема дəлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: |