Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

282
Р
(
А
1
) = 0,4,  
Р
(
А
2
) = 0,6,
  Р
А
1
(
В
) = 0,8,  
Р
А
2
(
В
) = 0,9.
Толық ықтималдық формуласы бойынша, алынған микро-
схеманың жоғары сапалы болу ықтималдығын табамыз:
Р
(
В
) = 
Р
(
А
1
)·
Р
А
1
(
В
) + 
Р
(
А
2
)·
Р
А
2
(
В
) = 0,4·0,8 + 0,6·0,9 = 0,86.
Мысал
.
 Алдыңғы есептің шарты орындалсын жəне жаб-
дықтауға алынған микросхема жоғары сапалы болсын. Осы 
микросхема 2-орталықта жасалғандығының ықтималдығын табу 
керек. 
Байес формуласын жəне алдыңғы есептің нəтижелерін 
пайдаланып, ізделінді ықтималдықты табамыз: 
2
2
2
0 6 0 9
0 63
0 86
(
)
( )
,
,
(
)
,
.
( )
,
A
B
P A P B
P A
P B
⋅
=
=
≈
§11.  Бернулли формуласы
Қандай да бір сынау 
п
 рет қайталана жүргізілсін. Оның 
əрқайсысында 
А
 оқиғасы пайда болуы да, болмауы да мүмкін. 
Қосымша мына шарт орындалсын: əр сынауда 
А
 оқиғасының 
пайда болу ықтималдығы - 
р
 тұрақты, яғни ол не сынау ретіне, не 
алдыңғы сынаулар нəтижесіне тəуелсіз. Бұл шарт сынаулар тізбегі 
тəуелсіз екендігін көрсетеді. Мұндай шартты қанағаттандыратын 
сынаулар тізбегін 
тəуелсіз сынаулар тізбегі
 немесе 
Бернулли 
схемасы
 деп атайды.
Егер əрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы 
тұрақты 
р
-ға тең болса, онда 
п
 рет жүргізілген тəуелсіз сынауда 
ол оқиғаның дəл 
k
 рет пайда болу ықтималдығы 
( )
1
,
k
k
n k
n
n
p k
C p q
q
p
−
=
= −
               
 (9.15)
формуласы бойынша есептеледі. Оқиғаның а) 
k
 реттен кем, 
б) 
k
  реттен артық, в) 
k
 реттен кем болмайтындай, г) 
k
 реттен 
аспайтындай пайда болуының ықтималдығы сəйкесінше 
а) 
( )
( )
(
)
1
1
0
−
+
+
+
k
p
p
p
n
n
n
…
; 
б) 
(
)
(
)
( )
n
p
k
p
k
p
n
n
n
+
+
+
+
+
…
2
1
;

283
в) 
( )
(
)
( )
n
p
k
p
k
p
n
n
n
+
+
+
+
…
1
;
г) 
( )
( )
( )
k
p
p
p
n
n
n
+
+
+
…
1
0
; 
формулаларымен табылады.
   Дəлелдеме.
 Əрбір сынау нəтижесі орнына 
А
 не 
A
 əріптерін 
жазамыз. Сонда бір-біріне тəуелсіз 
п
 рет сынау жүргізгенде 
А
 мен 
A
 əріптерінің жиынтығы шығады жəне мұнда 
А
 əрпі 
k
 рет, олай 
болса 
A
 əрпі 
n – k
 рет кездеседі. Мұндай жиынтықтардың саны 
(комбинаторика формуласына сəйкес) 
(
)
!
!
!
k
n
k
n
C
k
n
−
=
болады.
 Жүргізілген сынаулар тəуелсіз болғандықтан, осындай бір 
жиынтыққа 
k
n
k
q
p
−
 ықтималдығы сай келеді, мысалы, 
( )
( )
( )
( )
...
.
k
n k
k
n k
k
n k
p A A
A A A
A
p A
p A
p A
p A
p q
−
−
−


⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=




…
…
…
   
 
  
Енді ықтималдықтарды қосу теоремасын ескерсек, 
( )
k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
p
−
=
 болатыны шығады. Демек (9.15) формуласы 
дəлəлденіп отыр. Оны 
Бернулли формуласы
 
дейді. Бұл формуланы 
тағайындау барысында қосымша 
k
n
n
k
n
C
C
−
=
 болатынын көрсеттік. 
Енді 
Ньютон биномы
 аталатын 
(
)
0
1
1
1
0
0
q
p
C
q
p
C
q
p
C
q
p
C
p
q
n
n
n
k
n
k
k
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=
+
−
−
…
…
   (9.16)
жіктемесін қарастырайық. Мұнда байқайтынымыз - 
( )
k
p
n
 
саны бином жіктемесіндегі сəйкес қосылғышқа тең болып тұр 
(жалпылық үшін 
0
n
C
 жəне 0! шамаларын 1-ге тең деп ұйғарамыз). 
(
)
1
=
+
n
q
p
 екенін ескеріп,
( )
1
0
0
=
∑
⋅
=
∑
=
−
=
n
k
k
n
k
k
n
n
k
n
q
p
C
k
p
                 
(9.17)
қатынасын шығарып аламыз.

284
п
 тəуелсіз сынау жүргізгенде 
А 
оқиғасының 
k
1
-ден кем 
болмайтындай жəне 
k
2
-ден аспайтындай пайда болуының 
ықтималдығы 
(
)
∑
=
≤
≤
=
−
2
1
2
1
k
k
k
k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
k
k
p
                       
(9.18) 
формуласы бойынша есептеледі.
Мысал
.
 Нысанаға 6 рет оқ атылады. Олардың əрқайсысының 
нысанаға тию ықтималдығы тұрақты жəне ол 0,4-ке тең. Осы шарт 
бойынша төмендегі оқиғалардың ықтималдығын анықтаңыз:
1) 
А
 оқиғасы – нысанаға атылған оқтың біреуі дəл тиді;
2) 
В
 оқиғасы – нысанаға жіберілген оқтардың дəл тигені 4-тен 
кем емес;
3) 
С
 оқиғасы – нысанаға жіберілген оқтың, ең болмағанда, 
біреуі дəл тиді.
Шешуі
.
 1) Бернулли формуласы бойынша 
p
(
A
) = 
p
6
(1) = 
( )
.
1866
,
0
6
,
0
4
,
0
6
5
5
1
1
6
≈
⋅
⋅
=
q
p
C
 
2) 
В
 оқиғасы бойынша нысанаға дəл тиген оқ саны 4, 5 немесе 
6-ға тең болуы мүмкін. Сондықтан
p
(
В
) = 
p
6
(4) + 
p
6
(5) + 
p
6
(6) = 
( ) ( )
( ) ( )
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
1
5
5
6
2
4
4
6
6
,
0
4
,
0
6
,
0
4
,
0
C
C
 
( ) ( )
.
5109
,
0
6
,
0
4
,
0
0
6
6
6
≈
⋅
⋅
+
C
 
3) 
С
 оқиғасының ықтималдығын қарама-қарсы 
C
 оқиғасының 
ықтималдығы арқылы тапқан əлдеқайда жеңіл. Сонда 
C
 – бірде-
бір оқтың тимеуін білдіреді жəне 
p 
(
С
) = 1 - 
p 
(
C
) = 1 - 
q
6 
= 1 - (0,6)
6 
≈ 1 – 0,0467 = 0,9533.
Мысал
.
 Жұқпалы ауру науқанында ауруға шалдығу ықти-
малдығы 
р
 = 0,4-ке тең. Фирмадағы алты қызметкердің
1) дəл төртеуі ауруға шалдығуының,
2) саны төрттен аспайтын адам ауруға шалдығуының 
ықтималдығын есептеңіз.

285
Шешуі
. 
Бернулли схемасы орынды болатыны айқын: 
р
 = 0,4, 
q
 = 1- 
р
 = 0,6; 
n
 = 6, 
k
 = 4 (
k 
≤ 4), сондықтан
1) 
p
6
(4) = 
( ) ( )
( ) ( )
.
138
,
0
6
,
0
4
,
0
4
3
2
1
3
4
5
6
6
,
0
4
,
0
2
4
2
4
4
6
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
C
 
2) Екінші сұраққа тікелей жəне қарама-қарсы оқиға 
ықтималдығы жөніндегі теоремены қолданып, жауап беруге 
болады, өйткені бұл оқиғаны, «ең болмағанда екі адам ауруға 
шалдықпайды» деп те тұжырымдай аламыз. Сонда
P
6
(0 ≤
k 
≤4) = 1 - P
6
(5 ≤ 
k 
≤ 6)= 
P
6
(0) + 
P
6
(1) + 
P
6
(2) +
+ 
P
6
(3) + 
P
6
(4) =1 - 
P
6
(5) - 
P
6
(6) = 0,959.
Екінші жағдайда есептеу жеңілрек жəне мұндай мүмкіндікті 
есептерді шешуде ескерген жөн.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: