Қазақстан республикасы білім және ғылым министірлігі

144 
 
Бұл  мақалада  математикалық  есеп  шығару  технологиясының  ерекшеліктерін 
математикалық  білім  және  біліктілік  сапасын  жақсартуда  пайдалана  білу,  оның  ішінде 
математиканы оқытуда кеңінен пайдаланылатын эвристикалық және алгоритмдеу әдістерінің 
мүмкіндіктерін ұтымды қолдану мәселеріне назар аудармақшымыз. 
Сол  үшін  есеп  шығару  үрдісінде  оқушылардың  іс-әрекетін  тиімді  ұйымдастыра  білу 
қажет болады. Ӛйткені, математиканы оқытуда оның есептерін шығарудың іс-әрекетін тиімді 
ұйымдастыра білу, белсендіру жалпы математиканы оқыту үрдісінде басты орын алады. 
Келесі маңызды мәселе – есептің шығарылу барысын талдай білу. Ӛйткені есеп шығару 
барысында оны талдау арқылы теориялық білім (аргументациялап отырып оқыту іс-әрекеті) 
қолданылады,  нәтижесінде  алған,  меңгерген  білімнің  маңызын,  ӛзектілігін  нақты  анықтау 
үрдісі жүргізіледі. 
Тағы  да  бір  жете  назар  аударатын  жағдай  –  есептің  шығарылуы  барысын  дұрыс  жаза 
білу.  Есептің  шығарылуын  жазудағы  ең  басты  мәселе  –  оның  дұрыс  негізделінгенін 
(аргументацияланғандығын)  кӛрсету.  Оны  кӛрсету  үшін  берілген  есепті  шешуде 
қолданылған алгоритмнің әр қадамын нақты жазуды, түсіндіруді (комментарий беруді) қажет 
ететін  жайттарға  жүйелі  түрде  оқушыларға  комментарийлер  бергізіп  (үй  тапсырмаларын 
орындауда  оны  жазбаша  түрде  беруді  міндеттеу,  ал  сабақ  үстінде  ауызша  түрде  беріп) 
отыруды іске асыру керек болады. 
  Математиканы  оқытуды  есеп  шығарусыз  елестету  қиын.  Бірінші  кезекте  есептер 
стандартты және стандартты емес болып екіге бӛлінетіндігі белгілі. Стандартты есепті шешу 
ережесі,  әдістері  берілген  формула  немесе  белгілі  алгоритмге  сүйенетіндігі  баршамызға 
белгілі.  Ал  стандартты  емес  есептерді  шешуді  тиімді  ұйымдастыру  үшін  алдымен 
оқушыларға  ой  тастау  қажет,  содан  кейін  барып  оған  оқушылармен  бірлесе  талдаулар 
жүргізе отырып, оны стандартты жағдайға келтіруді оқушылардың ӛздеріне іске астыртамыз, 
келесі  –  есеп  шығарудың  әрбір  элементар  қадамын  оқушының  ӛзінен  нақты  кӛрсетіп, 
түсіндіріп отыруын талап ететін боламыз. 
  Мысалы, мына  түрдегі 











0
)
2
(
3
0
3
2
2
x
x
x
x
 
теңдеулер жүйесін шешу керек болсын. 
Мұндай  қарапайым  түрдегі  теңдеулер  жүйесін  шешуді  саналы  түсіну,  меңгеру 
келешекте  оқушының  (немесе  тӛменгі  курс  білімгерінің)  күрделі  түрдегі  функцияларды 
зерттеуде,  параметрлі,  модульді  ӛрнекті  теңдеулерді  немесе  теңсіздіктерді,  теңдеулер  және 
теңсіздіктер жүйелерін шешуді, сызықты программалау есептері мазмұнын  саналы түсінуге, 
меңгеруге, оқушылардың ойлану қабілетін қалыптастыруға қажет болады. 
Талдау жүргізу үлгісі: 
1.Бұл  есепті  шешу  үшін  ең  бірінші  кезекте  есептің  қалайша  берілгеніне,  шартына 
оқушылар  назарын  аударуымыз  керек.  Яғни,  берілген  мысалдағы  жүйенің  әрбір  теңдеуінің 
қандай  түрде  берілгеніне  және  олардың  ӛзара  байланысына  кӛңіл  бӛлуіміз  керек  болады. 
Мысалы,  біз  қарастырып  отырған  есеп    стандартты  емес  жағдайдағы  есеп.  Алдымен 
оқушының кішкене болса да ойлануын қажет етеді. 
2.Осыдан кейін барып, оны қалай шығаруға болады деген сұрақ туындайтындығы анық. 
Бұл  сұраққа  жауап  беру  алдында,  ұсынылған  есепті  саналы  түрде  шығара  алуы  үшін 
оқушылар нелерді білулері қажет деген сұрақ туындайды. 
3.Бұл сұрақтарға  жауапты оқушылардың ӛздерінің бергенін талап етеміз, сол үшін оны 
бағыттаушы сұрақтар қоя отырып анықтауымызға болады. 
4. Осыдан кейін барып берілген есепті нақты шешудің жолына, тәсіліне ораламыз: 
1)  Келтіріп  отырған  мысалдағы  жүйенің  бірінші  теңдеуі  квадрат  теңдеу,  ал  екіншісі 
иррационалдық теңдеу болып табылады. 
2)  Алдымен әрбір теңдеуді жеке-жеке шешіп аламыз. Ол стандартты жағдайға жатады 
немесе соған жақын. 

145 
 
3)  Ол  үшін  оқушылар  квадрат  теңдеу  мен  қарапайым  иррационалдық  теңдеуді  шешу 
жолдарын, тәсілдерін және ерекшеліктерін  білулері, түсінулері керек болады. 
4)  Жүйенің  әрбір  теңдеуінің  шешімдері  негізінде  жүйенің  ӛз  шешімін  анықтау  үшін 
эвристикалық талдаулар жүргіземіз. Бұл стандартты емес жағдайға жатады. 
5.Жүйенің бірінші теңдеуін шешуді қарастырайық.   
Бұл жағдайда оқушыларға қойылатын бірінші сұрақ: қандай теңдеу 
берілген?  Әрине,  негізгі  жауап    дұрыс  болады,  ӛйткені  оқушылардың  кӛбісі  квадрат 
теңдеуді ажырата алады. 
 Келесі сұрақ: Квадрат теңдеуді шешудің қандай тәсілдерін білесіңдер? 
Оқушылар жауабын күтеміз, дұрыс жауаптар беруге бағыттаймыз. 
 Міне,  осылайша  сұрақ-жауап  (эвристикалық)  әдісін  қолдана  отырып,  қайталау 
жүргіземіз, оқушылардың кӛбісінің квадрат теңдеудің шешімін іздеу туралы білімін сенімді 
бекіте бастаймыз. 
6.Осыдан  кейін  барып,  квадрат  теңдеуді  шешудің  кеңінен  таралған    бірнеше 
тәсілдерінің бар екендігін оқушылармен бірлесе анықтап алғаннан кейін, оларды практикада 
пайдалануды оқушылармен бірге қарастыра және талдай отырып, машықтану жүргіземіз. 
1-әдіс,    Дискриминант  арқылы  түбірді  табу  әдісі.  Бұл  жерде  оқушылар  нелерді 
білулері  тиіс  және  керек  болады,  пән  мұғалімі  сұрақтар  қоя  отырып,  оны  оқушылардың 
ӛздеріне атап, қадап анықтатып алуы тиіс (дискриминант мәнін анықтау формуласын;  D>0, 
D<0,  D=0  жағдайлары  ерекшелігін;  нақты  х
1
  және  х
2 
түбірлері  мәндерін  анықтау 
формулаларын, т.с.с.) 
D=b
2
  –  4ac=(-2)
2
-4∙1(-3)=16  >0  болғандықтан,  теңдеудің  ӛзара  бір-біріне  тең  емес  екі 
шешімі (екі нақты түбірі) бар болады.   x
1
=-1,     x
2
=3. 
2-әдіс, Виет теоремасы бойынша шешу. Бұл жерде де оқушылар нелерді білулері тиіс 
және  керек  болады,  мұғалім  сұрақтар  қоя  отырып,  оны  оқушылардың  ӛздеріне  атап,  қадап 
анықтатып  алуы  тиіс.  Оқушылар  Виет  теоремасын  естеріне  түсіреді,  оны  жаздыртамыз:  
x
1
+х
2
=-p; x
1
∙x
2
=q . Осы теорема негізінде    x
1
=-1,  x
2
=3 екендігі алынады.                                       
3-әдіс,  көбейткіштерге  жіктеу  әдісі.  Бұл  жерде  де  талдауға  оқушылардың  ӛздерін 
белсенді түрде қатыстырамыз. 
x
2
-2x -3 = x(x-3)+(x-3)=(x-3)(x+1), демек  (х-3)(х+1)=0, ережеге сәйкес кӛбейткіштердің 
әрқайсысын нӛлге теңестіріп алсақ,  х-3=0 және х+1=0, бұдан  х
1
=-1, х
2
=3.        
Сонымен, осылайша оқушылар бірінші теңдеудің шешімдері -1 және 3 сандары екеніне 
кӛздерін жеткізеді. Квадрат теңдеуді шешудің кеңінен таралған  бірнеше тәсілдерін естеріне 
түсіреді, қайталайды, сенімді бекітеді. 
7.Енді,  жүйенің  екінші  теңдеуін  шешуді  қарастырайық.  Ол  үшін  оқушы  нелерді  білуі 
тиіс, алдымен соны анықтауға байланысты оқушыларға мына сұрақтарды береміз: 
-жүйенің екінші теңдеуін шешуді неден бастаймыз? 
Оқушылардың  жауабын  күтеміз,  пауза  болған  жағдайда  бағыттаушы  сұрақтар  қоя 
отырып, дұрыс жауап беруге алып келеміз. 
Оқушылардың  жауабы:  Екінші  теңдеуді  шешу  үшін  иррационал  ӛрнек  қатысып 
отырғандықтан, алдымен оның анықталу облысын табамыз. Квадрат түбір астындағы ӛрнек 
мәні нӛлден үлкен немесе тең болуы шартын ескереміз. Яғни х≥3 болуы тиіс. 
Келесі сұрақ: осы теңдеудің екінші кӛбейткіші туралы не айта аламыз? 
Оқушылар  жауабы:  кӛбейтіндінің  нӛлге  тең  болуы  қасиетін  пайдалана  отырып,  
теңдеудің екінші кӛбейткішін нӛлге теңестіреміз. Яғни, теңдеудегі екінші кӛбейткішті нӛлге 
теңестірсек, х=-2 болады. 
 8.  Алынған  шешімдерді  (түбірлерді)  сан  осінде  белгілейміз.  Оны  оқушылардың 
ӛздеріне орындатамыз. 
9. Сұрақ қоямыз: сонымен, берілген жүйенің шешімі неге тең? 
Оқушылар  жауабы:  Табылған  шешімдер  жиынынан  берілген  жүйе  теңдеулерінің 
екеуіне  де  ортақ  болатын  (екеуін  де  қанағаттандыратын)  шешімді  жүйенің  шешімі  деп 
аламыз.  Демек, жүйенің шешімі х=3 болады.