Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы

Кейде А оқиғасының ықтималдығын есептеу үшін жүргізілген тәжірибеге орай В₁,В₂,…, В_n жоруларын (гипотезаларын) жасауға тура келеді. Бұл жорулар бірден-бір мүмкін болуы керек, яғни олардың ең болмағанда біреуі пайда болатын болуы керек, демек

В₁ +В₂+…+В_n =E_j (4)

Міне осындай шарт орындалғанда

Мысал 1: №1 деп белгіленген 2 жәшік және №2 деп белгіленген 3 жәшік бар. Жәшіктердің әр қайсысында 4 ақ және 6 қара шар бар. №2 жәшіктердің әрқайсысында 9 ақ және 1 қара шар бар. Алдымен, сәтіне қарай бір жәшік таңдалып алынған, содан кейін одан сәтіне қарай бір шар алынған. Сол алынған шардың ақ болу ықтималдығы қандай?

Шешуі: Бұл есепті тәжірибе күрделірек: “ алдымен жәшік, содан кейін шар алынған ”. Жәшіктің қай нөмірлі екендігі бегісіз. Міне осыған орай жорулар жасаймыз: В₁ – №1 жәшік алынған, В₂ – №2 жәшік алынған. Басқа жорулар жоқ. Енді А арқылы алынған шар ақ болу оқиғасын белгілелік. Енді толық ықтималдық формуласын қолдансақ

Осы теңдіктің оң жағындағы ықтималдықтарды есептелік:

Р(B_і)=2/5=0,4 Р(B₂)=3/5=0,6 және Бұл табылған мәндерді орындарына апарып қойсақ

Р(А)=0,40,4+0,60,9=0,16+0,54=0,7

Есептің жауабы-0,7 ықтималдықтары жору ықтималдықтары деп аталады. Есептің шарты бойынша жору ықтималдықтарын табу үшін Байес, ағылшын математигі есімімен аталатын формула қолданылады:

(6)

Мысал 2: Емтиханға бір группадан 10 студент қатысты. Оның 3- «өте жақсы», 4 – «жақсы», 2- «орташа», 1 – «нашар» дайындалған. Емтихандағы билетте 20-сұрақ бар. «Өте жақсы» дайындалған студент 20 сұрақтың бәріне, ал «жақсы»-16, «орташа»-10, «нашар»-5 сұрағына жауап беруі мүмкін. Кездейсоқ шақырылған студент 3 сұраққа жауап береді. Студенттердің

1) өте жақсы

2) нашар

дайындалғандығының ықтималдығын табыңыз.

А-студент барлық сұраққа дайын

B₁-«өте жақсы» дайындалған

B₂-«жақсы» дайындалған

B₃-«орташа» дайындалған

B₄-«нашар» дайындалған

Осы оқиғалардың ықтималдығы:

Р(B₁)=0,3 Р(B₂)=0,4 Р(B₃)=0,2 Р(B₄)=0,1

Сәйкес ықтималдығы:

; ;

; ;

Р(А)=