Кинетикалық және потенциалдық энергиялар

Денелер жүйесінің механикалық қозғалысының күйі уақыттың қандай да бір мезетінде олардың салыстырмалы орналасулары мен жылдамдықтары белгілі болса толық сипаталады.

Механикада энергияның екі түрі бар. Денелердің жылдамдықтарына тәуелді энергияны кинетикалық, ал олардың орналасуларына (координаталарына) тәуелді энергияны потенциалдық энергия деп атайды.

Энергияны механикалық қозғалыс күйінің параметрлерінің функциясы ретінде өрнектеу үшін, параметрлердің шамаларының өзгеруіне байланысты энергияның қалай өзгеретіндігін анықтауымыз қажет. Қозғалыстағы жүйе күйінің өзгерісі әрқашан оның ішінде өтетін процестерге немесе оған әсер етіп жұмыс істейтін сыртқы күштерге тәуелді. Алдыңғы параграфта сыртқы күштердің жұмысы оң болса, жүйенің энергиясының өсетіндігі, ал теріс болса, кемитіндігі көрсетілген болатын. Сыртқы күштердің жұмысы теріс мәнді иеленгенде, жүйе сыртқы күштерге қарсы жұмыс істейді. Жүйе тарапынан сыртқы денелерге берілген күштің әсерінен істелінетін жұмыс жүйе энергиясының есебінен орындалады. Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгерісін анықтау мақсатында одан кез келген денені бөліп аламыз. Денеге жүйенің ішіндегі және сыртындағы денелердің әсер ететін күштерін сәйкес қорытқы → F күшімен алмастырып, осы күштің массасы m дененің жылдамдығын → 1 υ -ден → 2 υ -ге дейін өзгерткендегі атқаратын жұмысын өрнектейік:

A=f(υ₂) − f (υ₁) (3.5.1)

Теңдіктің оң жағындағы өрнекті анықтау арқылы, біз күйдің өзгеру шамасын дененің өзгеру жылдамдығының функциясы ретінде анықтап, кинетикалық энергияның өзгерісін табамыз.

Ғ күш әсер ететін массасы m дененің қозғалыс теңдеуінің скалярлық түрін жазайық:

F = m теңдіктің екі жағын dx орын ауыстыруға көбейтсек, қозғалыс теңдеуі төмендегідей түрлене

Fdx=m dx=mvdv=md(

немесе

Дене x₂ – x₁ жолды жүріп өткенде жылдамдық υ ₂ –υ₁ өзгереді. Жылдамдықты өзгертуге кеткен толық жұмысты (3.5.2) теңдігінің екі жағын интегралдау арқылы анықтаймыз:

∫dA = mυυd немесе m∫vdv =

Олай болса,

A= - (3.5.3)

Дененің кинетикалық энергиясының өзгерісі сан жағынан оның қозғалыс жылдамдығын υ₁ -ден υ₂ -ге дейін өзгеру үшін әсер ететін күштің жұмысына тең. Егер денеге F күштен басқа үйкеліс күші әсер етсе, онда денеге берілген механикалық қозғалыстың қандай да бір бөлігі молекулалық-жылулық қозғалысқа жұмсалғандықтан, дененің кинетикалық энергиясының өзгерісі күштің істеген жұмысынан кіші болады. (3.5.3) қозғалысқа жұмсалғандықтан, дененің кинетикалық энергиясының өзгерісі күштің істеген жұмысынан кіші болады. (3.5.3) формуласындағы =T белгілейік:

T= (3.5.5)

Қозғалыстағы дененің тежелу кезіндегі толық тоқтағанға дейінгі істеген жұмысы, қозғалыс траекториясына тәуелді емес. Ол дененің кинетикалық энергияның өзгерісімен анықталады. Кинетикалық энергия аддитивті болғандықтан, жүйедегі денелердің кинетикалық энергиясы, олардың әрқайсысының кинетикалық энергиясының қосындысына тең:

T= (3.5.6)

Жүйенің кинетикалық энергиясы оның қозғалыс күшінің функциясы болып табылады. Мысалы, υ жылдамдықпен қозғалатын екі бірдей вагонды тоқтататын тежеу күшінің жұмысы, бір вагонды тоқтатын тежеу күшінің жұмысынан екі есе артық. Дененің қозғалыс мөлшері p = mυ болғандықтан, кинетикалық энергия мына формуламен өрнектеледі:

T= =

Сыртқы күш өрісіндегі материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы

ін (кемиді) әсерлесу потенциалдық энергиясының есебінен атқарылатындықтан, төменде келтірілген теңдіктерді аламыз: § 3.6. Сыртқы күш өрісіндегі материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы және оның материалдық нүктеге әсер ететін күшпен байланысы. Консервативті және консервативті емес күштер Потенциалдық энергия денелердің өзара орналасуымен және олардың әсерлесу күштерінің мінездемесімен сипатталатын жүйенің жалпы механикалық энергиясының бөлігімен анықталады. Денелердің әсерлесуі күштік өрістер арқылы (мысалы, гравитациялық күштер өрісі) іске асырылсын делік. Дене бір орыннан екіншісіне орын ауыстырғанда істелетін жұмыс орын ауыстыру траекториясына емес, оның бастапқы және соңғы орындарына тәуелді. Мұндай өрісті потенциалды, ал ондағы әсерлесетін күштерді консервативті деп атайды. Егер күштің әсерінен істелетін жұмыс орын ауыстыру траекториясына тәуелді болса, күштер диссипативті деп аталады. (Мысалы, үйкеліс күші). Денелердің немесе бөлшектердің әсерлесуінің потенциалдық энергиясы олардың өзара орналасуына тәуелді, яғни әрқашан координатаның функциясы болады. Қарапайым жағдайда потенциалдық энергия бір координатаға тәуелді болуы мүмкін. Әсерлесу потенциалдық энергиясы U(x) функциясымен анықталатын екі бөлшекті қарастырайық. Мұндағы, х – екі бөлшектің арақашықтығы. Бөлшектер бір-бірімен Ғ күшпен тебіседі делік. Ғ күшінің әсерінен денелердің арақашығы dx артып, Fdx жұмыс істеледі. Жұмыс - dU өзгеретін (кемиді) әсерлесу потенциалдық энергиясының есебінен атқарылатындықтан, төменде келтірілген теңдіктерді аламыз:

− dU = Fdx = dA немесе F = −

Өріс потенциалды болған жағдайда күш потенциалдық энергиядан х параметрі бойынша теріс таңбамен алынған туындыға тең. Кеңістік үшін жоғарыда келтірілген теңдік төмендегідей түрленеді:

Fdr=−dU (3.6.1)

U(→ r) функциясы белгілі болса, (3.6.1) формуласы → F күшін молулі және бағыты жағынан толық анықталады. Күш консервативті болған жағдайда:

F= ,

F= ,

F= ,

Немесе векторлық түрде:

F = −gradU (3.6.2)

gradU символымен қосынды белгіленген:

gradU=

Мұндағы, i , j , k - координаталық осьтердің бірлік векторы. (3.6.3) өрнегімен анықталатын вектор, U скалярының градиенті болып табылады. gradU белгіленуімен қатар ∇U белгіленуі қолданылады. Мұндағы, ∇ (Набла) немесе набла-операторы деп аталатын символдық вектор:

U функциясының нақты түрі күштік өрістің мінездемесіне тәуелді. Мысалы, Жер бетінен Һ биіктіктегі массасы m дененің потенциалдық энергиясы:

U = mgh, F=- =-mg

Серпімді деформацияланатын денелер үшін:

U=kx²/2, F=-kx

Мұндағы, k - серпімдік коэффициенті Ғ күші істейтін элементар жұмыс мына теңдеумен анықталады:

dA = Fdx = kxdx

Мұндағы dx - деформацияның шамасы

Толық жұмыс A = ∫kxdx=kx² /2+C=U+C серпімді дененің (серіппенің) потенциалдық энергиясын арттыруға жұмсалады. Денені деформацияланбаған ( x = 0 ) күйден, ( x ≠ 0 ) деформацияланған күйге көшіруге жұмсалатын жұмыс ( x = 0 , С = 0 ) төмендегі формуламен есептеледі:

A=kx²/2

№5 лекция