Массасы айнымалы дене қозғалысы. Мещерский жəне Циолковский теңдеулері

Зымыран моторларында қозғалтқыш күш отынның жану өнімдерінің күшке қарсы бағытта ұшып шығу нәтижесінде туады. Ол Ньютонның үшінші заңына сәйкес, реакция күші ретінде пайда болады, сондықтан күш реактивтік, ал мотор реактивті деп аталады. Бірақ тарту күшін тудыратын кез келген мотор негізінде реактивті екендігін ескерту керек. Мысалы, кəдімгі пропеллерлі ұшақтың тудыратын тарту күші - пропеллердің ауа массаларына ұшақ қозғалысына қарсы бағытта үдеу беру нәтижесінде пайда болтан реактивтік күш. Яғни, пропеллерлік үшақтың тарту күші кейін қарай ығыстырылған ауа массасының ұшаққа әрекет күшіне тең. Ол күш ұшаққа мызғы- май бекітілген пропеллерге түседі. Темір жол пойызы да, егер қозғалыс тыныштықтағы жұлдыздармен байланысқан инерциялық санақ жүйесінде қарастырылса, рельстер мен Жер бетінің қозғалысқа қарама- қарсы бағытта үдеуінен туған реактивтік тарту күші арқасында орнынан қозғалады. Әрине, пойызбен салыстырғанда рельстер мен Жердің массаларының анағұрлым үлкен (үдеу өте аз) болуына байланысты, олардың қозғалысын байқау ісжүзіндемүмкінемес.Бірақ, зымырандар мен басқа денелердің реактивті қозғалыстарының арасында өте маңыздыбірайырмашылық бар.

Зымырандықмотордатартукүші бастапқыда массасы зымыран массасының құрамына кіретін отынның жану өнімдерініңұшыпшығунəтижесіндепайдаболады. Басқа қарастырылтан мысалдарда жағдай өзгеше. Мысалы, ұшақ пропеллері ығыстырған ауаның массасы қозғалыс барысында ұшақ массасының құрамына кірмейді. Сондықтан реактивтік қозғалыс деп біз реактивті мотор тудыртан қозғалысты айтамыз. Басқаша айтқанда, массалары айнымалы денелердің қозғалысы қарастырылады, отан қоса тарту күші дене массасын құрастыратын бөлшектердің ұшып шығу нәтижесінде туады.Енді релятивистік те, релятивистік емес те жағдайлар үшін қолдануға мүмкіншілік бар қозғалыс теңдеуінің қорытуын келтірейік. Массасы m{t),жылдамдығы v зымыран бір уақыт мезетінде u жылдамдықпен dm' массасын бөліп шығарсын

Бұл жерде жэне dm' релятивистік массалар екенін, ал н жэне u жылдамдықтары қозталыс қарастырылып отырған инерциялық санақ жүйесінде алынатынын атап өту керек. Массаның сақталу заңы мына түрде жазылады:

1. 
   dm + d m '= 0
   

(2) (m+dm)(v+dv)+udm '=mv

түрінде жазылады. Бүдан dv×dm көбейтіндісін екінші ретті өте аз шама ретінде қарастырудан шығарсақ,

(3) mdv + vdm +u dm' = 0

теңдеу шығады. Енді (1)-ні ескере отырып, релятивистік жəне релятивистік емес жағдайлар үшін қолдануға болатынқозғалыс теңдеуін

(4)

аламыз.

(5) u = и' + и

мұнда u ' - зымыранға салыстырмалы сыртқа шығарылған массаныңжылдамдығы. (5)-ны (4)-кеқойып жэне (4)-тің сол жақтағы бөлігін уақыт бойынша дифференциалдасақ,

(6)

сыртқы күштер эсер етпейтін, релятивистік емес жылдамдықтармен қозғалған зымыранның қозғалысын өрнектейтін Мещерский теңдеуін аламыз. Егер зымыранға Ғ күші эсер етсе, (6) мына түрге келетіні айқын:

Зымыранға салыстырмалы ұшып шыққан газдардың жылдамдығы тұрақты деп санап, зымыранның түзусызықты қозғалысының үдеуін табайық. (6) теңдеу былай жазылады:

мұнда u' жылдамдығы v жылдамдыққа қарама-қарсы болғандықтан, теңдеудің оң жағында минус таңбасы тұр. Үдемелі қозғалыс алдындағы зымыранның жылдамдығын V○, массасын M○ арқылы белгілейік. Онда(8) теңдеуін

түрінде жазып жэне оны интегралдап,

К. Циолковскийдің белгілі формуласын аламыз. Бұл нэтижені төмендегідей түрлерде қолданған ыңғайлы:

Циолковскийдің (11) формуласы массасы M○-ден M-ге дейін азайғанзымыран жылдамдығының өзгеруін өрнектейді, ал (11) жылдамдығы «V○-ден V-ға өзгерген зымыранның массасы қалай өзгереді?» деген сұраққа жауап береді. Егер зымыран тыныштық қалыптан үдемелі қозғала бастаса, онда V○=0.

№4 лекция