30. Кездейсоқ шамалардағы сызықтық операциялар.
1. Х дискретті кездейсоқ шаманың С тұрақты санына көбейтіндісі деп с1х, с2х, ..., сnхn мәндерін сәйкес р1, р2,..., рn ықтималдықпен қабылдайтын дискретті кездейсоқ шаманы атайды.
1-мысал. Х кездейсоқ шамасының үлестіру заңы берілген:
Х
|
-2
|
0
|
1
|
3
|
Р
|
0,1
|
0,3
|
0,5
|
0,1
|
2Х кездейсоқ шамасының үлестіру заңын құр, оның математикалық күтуі мен дисперсиясын тап.
Шешуі: Анықтаманы қолдана отырып, 2Х дискретті шаманың үлестіру заңын аламыз.
2Х
|
-4
|
0
|
2
|
6
|
Р
|
0,1
|
0,3
|
0,5
|
0,1
|
2Х кездейсоқ шаманың математикалық күтуі мен дисперсиясын табайық.
М(Х) =(-2) 0,1 + 0 0,3 + 1 0,5 + 3 0,1 =0,6
D(X)= (-2)2 0,1 + 02 0,3 + 12 0,5 + 32 0,1 – (0,6)2= 1,44
Сонымен,
М(2Х) = 2М(Х) =2 0,6 =1,2
D (2Х) =22 D (Х) =4 1,44=5,76
2. Х және У кездейсоқ шамаларының көбейтіндісі деп Х-тің әрбір мүмкін мәндерін У-тің әрбір мүмкін мәндеріне көбейткенге тең ХУ шамасын айтады, ал ХУ көбейтіндісінің мүмкін мәндерінің ықтималдықтары мүмкін болатын көбейткіштердің ықтимал-дықтарының көбейтіндісіне тең.
2-мысал. Екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың үлестіру заңы берілген:
Олардың көбейтіндісінің үлестіру заңын құру керек. Математикалық күту қасиеттерін қолдана отырып, ХУ шамасының математикалық күтуін есепте.
Шешуі. Анықтаманы қолдана отырып, ХУ шамасының үлестіру заңын құрамыз:
ХУ
|
(-1) 0
|
(-1) 1
|
(-1) 3
|
0 0
|
0 1
|
0 3
|
1 0
|
1 1
|
1 3
|
Р
|
0,20,1
|
0,20,3
|
0,20,6
|
0,30,1
|
0,30,3
|
0,30,6
|
0,50,1
|
0,50,3
|
0,50,6
|
Сонымен, ХУ кездейсоқ шамаларының үлестіру заңы
ХУ
|
-1
|
-1
|
-3
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
3
|
Р
|
0,02
|
0,06
|
0,12
|
0,03
|
0,09
|
0,18
|
0,05
|
0,15
|
0,3
|
Ескерту. Бұл кестеде 0 мәні 5 рет қайталанып тұр. Бұлар тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, қосу теоремасы бойынша бұл мәннің ықтималдығы 0,02+0,03+0,09+0,18+0,05=0,37 қосындысына тең болады.
Ақырында алатынымыз
ХУ
|
-3
|
-1
|
0
|
1
|
3
|
Р
|
0,12
|
0,06
|
0,37
|
0,15
|
0,3
|
Тексеру: 0,12+0,06+0,37+0,15+0,3=1
Енді (26) формула бойынша математикалық күтуін анықтаймыз. М(Х) және М(У) табамыз.
М(Х) =(-1) 0,2+0 0,3+1 0,5 =0,3
М(У) =0 0,1+1 0,3+3 0,6 =2,1
Сонымен М(ХУ) =М(Х) М(У) =0,3 2,1=0,63
3. Х және У шамаларының қосындысы деп Х шамасының әрбір мәндерін У шамасының әрбір мәндеріне қосқанға тең Х+У шамасын атайды. Х және У тәуелсіз шамалар үшін Х+У мүмкін мәндерінің ықтималдығы қосылғыштардың ықтималдықтарының көбейтін-дісіне тең, ал тәуелді шамалар үшін - бір қосылғыштың ықти-малдығын екінші қосылғыштың шартты ықтималдығына көбейткенге тең.
3-мысал. Х және У екі кездейсоқ тәуелсіз шамалардың үлестіру заңы берілген.
Олардың қосындысының үлестіру заңын құру керек. М(Х) және D(Х) қасиеттерін қолдана отырып олардың математикалық күтуі мен дисперсиясын табу керек.
Шешуі. Екі Х және У шамалар қосындысының анықтамасын қолдана отырып, алатынымыз
Х+У
|
2+7
|
2+9
|
4+7
|
4+9
|
5+7
|
5+9
|
Р
|
0,1 0,8
|
0,1 0,2
|
0,3 0,8
|
0,3 0,2
|
0,6 0,8
|
0,6 0,2
|
Немесе
Х+У
|
9
|
11
|
11
|
13
|
12
|
14
|
Р
|
0,08
|
0,02
|
0,24
|
0,06
|
0,48
|
0,12
|
11 мәні 0,48 және 0,06 ықтималдығымен екі рет кездеседі. Бұл үйлесімсіз оқиғалар болғандықтан, қосу теоремасы бойынша 11 мәнін қабылдайтын Х+У шамасының ықтималдығы 0,02+0,24=0,26 тең болады. Сонымен, Х+У кездейсоқ шамасының үлестіру заңын аламыз:
Х+У
|
9
|
11
|
11
|
13
|
12
|
14
|
Р
|
0,08
|
0,02
|
0,24
|
0,06
|
0,48
|
0,12
|
Тексеру: 0,08+0,26+0,06+0,48+0,12=1
(27), (31) қасиеттерді қолдана отырып М(Х+У) және D(Х+У) табайық. Ол үшін М(Х), М(У), D(Х), D(У) табамыз
М(Х) =2 0,1+4 0,3+5 0,6=4,4
М(Х2) =22 0,1+42 0,3+52 0,6=20,2
М(У) =7 0,8+9 0,2=7,4
М(У2) =72 0,8+92 0,2=55,4
D(Х)=20,2-4,42=0.84 және D (У)=55,4-7,42=0,64
Сонымен, М (Х+У)=М (Х)+М (У)=4,4+7,4=11,8
D (Х+У)=D (Х)+D (У)=0,84+0,64=1,48
VIII –тақырып. Статистика элементтері
31.Статистика. Статистика пәні. Статистика міндеттері.
Математикалық статистика - берілген мәліметтерді талдауға арналған математиканың бөлімі. Математикалық статистиканың негізгі міндеті - таңдалған мәліметтер бойынша бас жиынтықтың сипаттамасын бағалау.
Ықтималдықтар теориясында берілген ықтималдық бойынша басқа бір оқиғалардың ықтималдықтары мен кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы анықталады. Бұл ықтималдық пен үлестіру функциясы қалай анықталады деген сұрақ туады. Мысалы, белгілі бір жағдайда детальдың жұмыс істеу мерзімін қалай анықтауға болады? Немесе ұл баланың дүниеге келу ықтималдығын анықтау. Бұл үшін тәжірибеге сүйену керек, сынақтар жүргізілуі қажет. Сынақтың нәтижелері бір-бірінен тәуелсіз болатыны белгілі.
Математикалық статистика сынақтың нәтижелері бойынша белгілі қорытынды жасайтын әдістерді қарастырады. Математикалық статистикаға тән типтік есептерге ықтималдықтарды бағалау, үлестіру функциясының белгісіз параметрлерін бағалау т.с.с. жатады. Математикалық статистикада Х кездейсоқ шамасының барлық мүмкін мәндерінің жиынтығын бас жиынтық деп атайды.
Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен берілген барлық қарастырып отырған объектілер жиынын айтамыз. Жеке объект осы жиынның элементі болады. Таңдама дегеніміз – бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынтығы. Мысалы, университеттігі студенттердің үлгірімін зерттеу үшін комиссия бір факультетті таңдап алады да, оның бір немесе бірнеше топтарына бақылау жүргізеді. Осы таңдап алынған студенттердің үлгірімі бойынша бүкіл университеттің, дербес жағдайда факультеттегі оқыту сапасына жуықтап баға беріледі. Университеттігі барлық студенттер бас жиынтық, ал таңдап алынған студенттер таңдама болады.
Таңдамада кездесетін кездейсоқ шаманың х1, х2, ...,хn әртүрлі мәнін варианта деп атайды.
Жиынтықта қандай да бір вариантаның қанша рет кездесетінін көрсететін m санын жиілік деп атайды. Жиіліктер n1, n 2, ..., n m арқылы белгіленеді.
Ал өмірде абсолютті жиіліктердің орнына салыстырмалы жиіліктер қолданылады. Егер n1 + n 2 +...+ n m = n болса, онда салыстырмалы жиілік
 ,  , …  (1)
(1) формуламен анықталатын   ..., сандары салыстырмалы жиіліктер деп аталады. Осы салыстырмалы жиіліктердің қосындысы 1-ге тең. Салыстырмалы жиіліктерді пайыз арқылы да өрнектеуге болады. Онда барлық салыстырмалы жиіліктерінің қосындысы 100 пайызға тең болады. Өсу ретімен орналасып, сәйкес жиіліктері көрсетілген варианталар вариациялық қатар деп аталады. Вариациялық қатар дискретті немесе интервалдық болады. Вариациялық қатардың жиіліктерін олардың массасы деп атаймыз.
Достарыңызбен бөлісу: |
