Комбинаторика, ықтималдық және статистика

Г.Е. Берікханова

Оқу-әдістемелік құрал

Семей – 2008

ББК 22. 172

Б 47


Пікір жазғандар:

Есенжолов Е.К. - педагогика ғылымдарының кандидаты, профессор

Жолымбаев О.М. - физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент


Берікханова Г.Е., Нұрсұлтанова Г.К.

Б 47 Комбинаторика, ықтималдық және статистика. Оқу-әдістемелік құрал. М.О.Әуезов атындағы Семей университеті: Семей, 2008. - 101 бет

«Комбинаторика, ықтималдық және статистика» оқу-әдісте-мелік құралы сегіз тараудан тұрады. Әр тарауда қысқаша теориялық материал, есептер және олардың шығару жолдары көрсетілген. Тараудың соңында өз бетімен жұмыс істеуге арналған тапсырмалар, бақылау жұмыстары мен тест тапсырмалары берілген. Бұл оқу-әдіс-темелік құрал мектеп мұғалімдеріне элективті курс ретінде ұсынылады және жоғарғы сынып оқушыларына білім жетілдіруге көмектеседі.

ББК 22. 172


© Берікханова Г.Е.,

Нұрсұлтанова Г.К.

Кіріспе
Орта мектепте ықтималдық-статистикалық сала бойынша арнайы курстар жүргізу туралы ұсыныс жаңа бастама емес.

Ықтималдықтар теориясының элементтерін орта мектеп курсына енгізу жайлы ой-пікірлер IX-ғасырдан пайда болған. XX-ғасырдың басында жаратылыс тану мен техникадағы, молекулярлық физикадағы жетістіктер мектепте ықтималдықтар теориясының элементтерін оқыту қажеттілігін алға қойды.

1919 жылғы бағдарламаның жобасында бірыңғай еңбек мектептеріндегі жаратылыс тану және техникалық топтар үшін ықтималдықтар теориясының элементтері енгізілді. Бірақ сабақ беретін маман-ұстаздардың жоқтығына байланысты жобаға енгізілген материал жүзеге аспады. 1925 жылы орта мектептің математика бағдарламасына ықтималдықтар теориясының элементтерін енгізу әрекеті қайта қарастырылды. Өкінішке орай, математика пәніне бөлінген уақыттың тапшылығынан және ықтималдықтар теориясы бойынша оқу-әдістемелік әдебиеттердің жеткіліксіздігінен бағдар-ламадан алынып тасталды. 1965-1966 жылдары комбинаторика элементтері мен ықтималдықтар теориясы бойынша қарапайым ұғымдар математика бағдарламасының жобасына енгізілді. Математиканың мектеп курсына ықтималдықтар теориясының элементтерін енгізу жайлы танымал ғалымдар А.Н.Колмогоров, А.Д.Аксанугов, А.И.Маркушевич, Б.В.Гнеденко, И.М.Яглом, А.Я.Хинчин өз ойларын білдірген.

Математикалық білім беру реформасына байланысты орта мектептегі математика курсының жеке тақырыбы ретінде ықти-малдар теориясының элементтерін оқыту мақсатында XX-ғасырдың 60-шы жылдары көптеген ғалым-әдіскерлердің бірқатар еңбектері жарық көрді.

Бірақ ықтималдық теориясының элементтерін оқытуға мектеп дайын болмағандықтан, орта мектептің математикадан бағдарлама құру бойынша пәндік комиссиясы 1967 жылғы жобада ұсынылған ықтималдықтар теориясындағы бастапқы мәліметтерді міндетті оқу курсынан алып тастауға мәжбұр болды және оларды 10-сыныптың факультативтік сабағына ауыстырды. Аталған комиссияның төрағасы А.Н.Колмогоров келешекте бұл материалдың негізгі мектептің математика курсына енгізілетіні жайлы айтқан.

Қазіргі кезде көптеген шет елдердің орта мектеп бағдарламаларына комбинаторика және статистика элементтері қамтылған ықтималдықтар теориясының элементарлық курсы енгізілген. Бірнеше жылдар бойы Венгрияда мектептің математика курсына ықтималдық-статистикалық теориясының элементтері енгізілген болатын. Бұл бастама Европада алғашқылардың бірі болып мектеп оқушыларына стохастиканы оқыту жолдарын ұсынған Т.Варгидің еңбектерінің негізінде жүзеге асты деуге болады.

Англия мен Уэльс ұлттық оқу жоспарында ықтималдықтар теориясы бойынша материалды оқытуға едәуір уақыт берілген. Бастауыш сынып оқушылары объектілерді топтастыруды орындай алулары, мәліметтерді жинап және оны кестеге енгізе білулері, ақпараттың бөлігін кестеден бөліп алулары, қарапайым диаграммаларды оқып және оларды құра білулері, ықтималдық терминологиясын дұрыс қолдана білулері, тәжірибенің орындалу ықтималдығы жайлы сөйлей білулері, эксперимент нәтижесінің ықтималдықтарын салыстыра білулері қажет. Сонымен, ғылымда мектеп математика курсына ықтималдық-статистикалық материалды енгізу идеясы 30 жыл бойы жүргізіліп келді және көптеген педагог-ғалымдардың еңбектерінде бұл проблеманың әр түрлі аспектілері зерттелді.

Соңғы жылдары ТМД елдерінде ықтималдық-статистикалық білім беру мәселесіне қызығушылық арта түсті. Ресейде бірнеше жыл бойы әр түрлі аймақтардағы негізгі мектептің оқушылары «Математика 5-6» Г.В.Дорофеев пен И.Ф.Шарыгинның редация-лауымен, «Математика 7-9» Г.В.Дорофеевтің редакциялауымен басқарылған жаңа оқу кешендерімен жұмыс жасауда. Бұл 5-сыныптан бастап 10-сыныпқа дейін жүйелі түрде статистикалық-ықтималдықтар теориясы оқытылатын Ресейдің алғашқы оқулықтарының бірі.

Бүгін біздің қоғамымызда жүргізіліп жатқан әлеуметтік-экономикалық және саяси өзгерістерге, қазіргі кездегі барлық саладағы ғылым мен техниканың дамуына байланысты ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін мектепте оқытудың қажеттілігі жайлы сұрақ қайта көтерілді.

Біздің елімізде де ықтималдық-статистикалық материалды мектепте міндетті математикалық білім берудің негізгі тарауы ретінде енгізу жайлы түбегейлі шешім қабылданды. Соңғы жылғы барлық перспективалық білім беру құжаттарында 6-9 сынып математика курсында «Функция», «Теңдеу және теңсіздік» салаларымен тең дәрежеде ықтималдық-статистикалық тарауы енгізілген.

Әлемдік тәжірибе көрсетіп отырғандай, жоғары оқу орындарынан ғана бастап ықтималдық ойлауды қалыптастыру өте кеш, ал мектептен қалыптасып қалған детермистік ойлауды қайта құру өте қиын. Қазіргі кезде мектеп математикасының жалпы курсында статистикалық, комбинаторикалық және ықтималдық элементтері енгізілген. Бірақ оқушыларды қандай да бір қарапайым есептерді шығаруға ғана үйретіп қоймай, ықтималдық-статистикалық ойлау элементтерін қалыптастыру қажет.

Статистикалық ойлау өзара байланысқан мынадай компо-ненттерден тұрады: статистикалық мәдениет, комбинаторикалық ойлау, ықтималдық интуицияның дамуы.

Статистикалық мәдениетке, құбылыстың сипаты жайлы дұрыс қорытынды алу мақсатында статистикалық ақпараттарды қабылдау, оқу, талдау жасау және оларды әр түрлі формада (таблица, диаграмма, үлестіру қисығы) көрсету жолдары жатады.

Комбинаторикалық ойлау қарастырылып отырған құбылыстың барлық нәтижелерін анықтай білу, толық нәтиже кеңістігінен қандай да бір белгі бойынша таңдау жасаудан тұрады.

Ықтималдықтық интуицияға мүмкіндікті бағалай білу, болжам және ұсыныс жасай білу, жағдайды болжай білу, құбылысты талдауға статистикалық әдісті қолдана білу жолдары жатады.

Комбинаторика, ықтималдықтар теориясы және статистика элементтері негіздерін оқыту бойынша эксперимент Семей қаласының 7-мектеп-лицейінде 2003 жылдан бастап бүгінгі күнге дейін жүргізіліп келеді. Бұл еңбектің нәтижелері математика мұғалімдеріне арналған осы оқу-әдістемелік құралда көрсетілген.

• 
  Оқушылардың ықтималдық-статистикалық ойлауын қалып-тастыру.
  

• 
  Оқушыларға «Комбинаторика, ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика» курсының негізгі ұғымдарын игеруге көмектесу;
  
• 
  Комбинаторикалық талдаудың, ықтималдықтар теориясының негізгі есептерін шығару;
  
• 
  Оқушыларға математикалық статистиканың негізін үйрету.
  

• 
  Комбинаторикалық ережелер мен формулаларды қолдана білу;
  
• 
  Күрделі емес комбинаторикалық есептерді шығаруда талдау жүргізе білу;
  
• 
  «Бұтақтың» тармақтарын құра білу;
  
• 
  Қарапайым жағдайда ықтималдықты есептей білу;
  
• 
  Ықтималдық пен жиілілік ұғымдарын ажырата білу;
  
• 
  Қарапайым статистикалық ақпаратты тіркеу және оны кестеге енгізу, сонымен қатар олардың сандық сипаттамаларын есептей білулері керек.
  

Комбинаторика ұғымы XVI - ғасырда пайда болған. Ол кезде карта, сүйек ойыны, лотереялар сияқты құмарлық ойындар үлкен орын алған. Сондықтан алғашқыда комбинаторикалық есептер негізінен құмарлық ойындарға қатысты болған. Комбинаториканың дамуы Я.Бернулли, Лейбниц, Эйлер есімдерімен тығыз байланысты.

Соңғы жылдары комбинаторика жедел даму үстінде. Комбинаторикалық әдістер транспорттық есептер шешуде, кестелер, өндірістік жоспарлар құрастыруда және өнімді өткізу мәселесінде қолданылады. Комбинаториканың негізгі ұғымдары көптеген ықтималдық есептерінің, сызықтық программалаудың, статистиканың негізі болып табылады. Сонымен қатар, комбинаторика автоматтар теориясында, экономикалық есептерде, биология және генетикада қолданылады.

Берілген жиын n әртүрлі элементтерден тұрсын. Бұл жиыннан бір элементті аламыз, содан кейін жиыннан бұл элементтен басқа екінші элемент алынады т.с.с., яғни әрбір таңдауда алынған элементтерден басқа жаңа элементтер алып отырамыз. Бұл кайталанбайтын таңдау.

Берілген жиын k типті элементтерден тұратын болсын, мұнда әрбір типтің ішіндегі элементтер бірдей. Кезекті таңдауда, алдыңғы алғаннан басқа, немесе алдында алғандағыдай жаңа элемент аламыз. Бұл қайталанатын таңдау деп аталады.

Қайталанатын таңдауға өзгеше сипат беруге болады. Берілген жиын әртүрлі п элементтен тұрсын. Бірінші элементті жазып алып, оны жиынға қайта қайтарамыз. Екінші элементті аламыз. Бұл жаңа немесе алдыңғы қайтарылған элемент болуы мүмкін. Мұндай таңдау қайталанатын таңдау. Жиыннан алынған элементтер таңдауларды құрайды.

а) Теңге екі рет, б) үш рет лақтырғандағы мүмкін нәтижелердің «бұтақтарын» салып көрсет.

Е С 1-қадам

б) Дәл осылайша теңгені үш рет лақтырғанда ЕЕЕ, ЕЕС, ЕСЕ, ЕСС, СЕЕ, СЕС, ССЕ, ССС жағдайлар болады. Оның бұтақтары төмендегі суреттегідей.

а) 2,3,4 цифрларын бір рет қана қолдану арқылы неше әдіспен үш таңбалы сан жазуға болады?

б) 2 және 0 цифрларынан неше әдіспен төрттаңбалы сан жазуға болады?

Шешуі: а) бұл есептің шешімін «бұтақтар» әдісі арқылы көрсетейік. Сан үштаңбалы болғандықтан, үш қадам болады. Бірінші цифр үш әдіспен таңдалады, сондықтан бірінші қадамда үш бағыт болады. Екінші цифр (цифрлар қайталанбайтын болғандықтан) қалған екеуінен таңдалады. Сонда бірінші қадамның әрбір нүктесінен екі тармақ шығады. Үшінші цифр қалған біреуінен таңдалатындықтан екінші қадамның әрбір нүктесінен бір тармақ шығады. Соңғы қадамда алты нүкте пайда болады, яғни алты үштаңбалы сан алуға болады, 234, 243, 324, 342, 423, 432.

2 3 4 1- қадам

4 3 4 2 3 2 3 - қадам

б) 2 және 0 цифрларынан тұратын төрт таңбалы санның шығу «бұтақтарын» салайық. Суретте төрт деңгей болады. Бірінші цифр екі ғана болады, өйткені 0 цифрынан басталатын төрт таңбалы сан болмайды. Екінші, үшінші, төртінші цифрларды да екі әдіспен алуға болады. Төртінші деңгейде сегіз нүкте пайда болады, яғни сегіз төрт таңбалы сан алынды: 2000, 2002, 2020, 2022, 2200, 2202, 2220, 2222.
2 1-қадам

0 2 2- қадам

0 2 0 2 3-қадам

4-қадам

3-мысал. А, Б, В үш әрпінен дауыссыз дыбыстар қатар келмейтін барлық үш әріпті сөзді құрастыру керек.

Бұл «бұтақтардан» 11 сөз пайда болатынын көреміз, атап айтқанда ААА, ААБ, ААВ, АБА, АВА, БАА, БАБ, БАВ, ВАА, ВАБ, ВАВ.

«Бұтақтар» бойынша 1- пунктен 10 - пунктке дейінгі барлық мүмкін болатын жолдар 11. Енді барлық жолдардың ұзындықтарын табайық, мұнда соңғы пунктен бастаған ыңғайлы.

(3)