Күнделікті өмірде бізге кездесетін оқиғаларды мынадай үш түрге бөлуге болады: ақиқат оқиғалар, мүмкін емес оқиғалар және кездейсоқ оқиғалар

§ 10 Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын

жүктеу 1,51 Mb.

бет	9/25
Дата	09.01.2022
өлшемі	1,51 Mb.
	#32119

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 25

fb15513a-422f-11e4-973d-f6d299da70eeЫкт. теор.

§ 10 Тәуелсіз оқиғ алардың ықтималдықтарын

көбейту

Анықтама. А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп, екеуі де бір сәтте орындалатын АВ оқиғасын айтамыз.

Мысал. Жәшікте №1 және №2 дайындаған бөлшектер бар. Егер: А – «үлгілі бөлшек алынды» оқиғасы, В – «бөлшекті №1-зауыт дайындаған» оқиғасы болса, онда АВ «№1-ші зауыт дайындаған үлгілі бөлшек алынды» –оқиғасы болады.

Анықтама. Бірнеше оқиғалардың көбейтіндісі деп, үйлесімді түрде олардың бәрінің бір сәтте орындалуын айтады.

Теорема. Өзара тәуелсіз екі оқиғаның бір сәтте орындалу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:

Дәлелдеу. А – оқиғасының оындалуы да орындалмауы да мүмкін болатын барлық әрекеттердің санын -деп белгілейік. -деп А – оқиғасына ықпал етуші жағдайлардың санын ( ) белгілейік. деп В оқиғасының орындалуы да орындалмауы да мүмкін болатын барлық әрекеттердің санын белгілейік. деп В оқиғасына ықпал етуші жағдайлардың саны ( ) белгілейік. Сонда дегеніміз: А және В, немесе А және , немесе және В, немесе және оқиғалары орындалатын барлық элементар оқиғалардың санын береді. Ал мұның ішінде – А және В оқиғаларының бір сәтте орындалуына ықпал етуші жағдайлардың саны. Олай болса оның ықтималдығы

; ;

болғандықтан

дәлелденді.

Анықтама. Біренеше оқиғалардың әрбір екі оқиғасы өзара тәуелсіз болса, және олардың әрбір оқиғасымен қалғандарының кез-келген комбинациясы тәуелсіз оқиғалар болатын болса, бұл оқиғаларды тобымен тәуелсіз оқиғалар дейміз.

Мысал. А₁, А₂ және А₃оқиғалары тобымен тәуелсіз болса, онда мына: А₁ мен А₂, А₁ мен А₃, А₂ мен А₃, А₁А₂ мен А₃, А₁А₃ пен А₂, А₂А₃ пен А₁ оқиғалары да тәуелсіз болады.

Ескерту. Егер бірнеше оқиғалар қос-қостан тәуелсіз болса, бұдан бұл оқиғалардың бәрі тобымен тәуелсіз деген ұғым тумайды. Яғни тобымен тәуелсіздіктің талабы, қос-қостан иәуелсіздіктің талабына қарағанда қатаңырақ.

Мысал. Қобдишада 1 қызыл түске (А – оқиғасы), 1 көк түске (В – оқиғасы), 1 қара түске (С – оқиғасы), 1 осы үш түске де (АВС – оқиғасы) боялған төрт шар бар.

Сонда , , болатындығын байқауға болады. Егер бұларды қос-қостан қарастырсақ, мысалы А мен С-ны, В мен С-ны т.с.с. , бәрібір олардың ықтималдығы ге тең болады да, олар қос-қостан тәуелсіз болады.

Бірақ бұл оқиғалар тобымен тәелсіз бола алмайды. Шынында да алынған шар көк қара екі түстес болсын. Осы шардың қызыл түске де боялғандығының ықтималдығы неге тең ? Ол былай, жалғыз ғана үш түске де боялғандықтан алынған шар қызыл түске де боялған болып шығады. Сонымен В мен С оқиғалары орындалды деп есептесек А оқиғасының міндетті түрде орындалатындығына көз жеткіздік. Яғни бұлар тобымен тәуелсіз емес, тәуелді. Және де (А) соңғы ақиқат болғандықтан оның ықтималдығы 1-ге тең ( ге емес).

Салдар. Тобымен тәуелсіз болып келген бірнеше оқиғаның бір сәтте орындалу ықтималдығы, осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең.

Дәлелдеу. Біз салдарды А, В, С үш оқиғаға дәлелдесек, оқиғаға да солайша дәлелденеді. Сонымен А, В және С үш оқиғасын қарастырайық. А, В және С оқиғасының бір сәтте орындалуы АВ мен С оқиғасының бір сәтте орындалуына пара-пар , сондықтан . А,В және С оқиғалары тобымен тәуелсіз болғандықтан АВ мен С да, сол сияқты А және В да өзара тәуелсіз оқиғалар. Олай болса екі тәуелсіз оқиғаларды көбейту теоремасы бойынша

Мысал. Өзара тәуелсіз А₁, А₂, А₃ оқиғаларының орындалу ықтималдықтары Р₁, Р₂, Р₃ болса, осы үшеуінің тек біреуі ғана орындалатындығының ықтималдығын тап ?

Шешуі.Тек А₁ оқиғасы орындалады десек, бұл мына оқиғаның орындалатындығымен пара-пар (бірінші оқиға орындалды да екінші мен үшінші орындалған жоқ). Мынадай белгілеулер енгізейік:

В₁ – тек А₁ оқиғасы орындалды, яғни

В₂ – тек А₂ оқиғасы орындалады, яғни

В₃– тек А₃ оқиғасы орындалады, яғни

Енді А₁, А₂, А₃ оқиғаларының тек біреуі ғана орындалатындығының ықтималдығын табу үшін мына ықтималдықты, яғни В₁, В₂, В₃ оқиғаларының қайсысы болсада біреуінің орындаатындығының ықтималдығын табамыз. Ал В₁, В₂, В₃ оқиғалары үйлесімсіз оқиғаларды қосу теоремасын қолданамыз:

(1)

Енді А₁, А₂, А₃ тәуелсіз оқиғалар болғандықтан А₁, оқиғалары да тәуелсіз, олай болса көбейту теоремасын қолданып:

сол сияқты

Осыларды (1)-ге қойсақ, А₁, А₂, А₃ оқиғаларының тек біреуі ғана орындалатындығының ықтималдығын табамыз, яғни

жүктеу 1,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 25