Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер

Тұрақты коэффициентті сызықтық

жүктеу 2,26 Mb.

бет	73/175
Дата	16.01.2020
өлшемі	2,26 Mb.
	#26847

1 ... 69 70 71 72 73 74 75 76 ... 175

4.2 Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық

теңдеулер жүйесі
Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырғанда үш теңдеуден тұратын (n=3) жүйемен шектелейік. Төменде айтылғандардың барлығы кез келген ретті жүйе үшін де орындалады.

Анықтама. Тұрақты коэффициентті нормальдық дифференциалдық теңдеулер жүйесі сызықты біртекті делінеді, егер оны келесі түрде жазу мүмкін болса:

(1)

(1) жүйе шешімдері үшін келесі қасиеттер орындалады:

1) Егер y, z, u – жүйе шешімдері болса, онда Cy, Cz, Cu , мұндағы C = const – жүйе шешімдері болады.

2) Егер y₁, z₁, u₁ и y₂, z₂, u₂ – жүйе шешімдері болса, онда y₁ + y₂, z₁ + z₂, u₁ + u₂ – жүйе шешімдері болады.

Жүйе шешімдері: түрінде ізделінеді. Бұл мәндерді (1) жүйесіне қоя отырып, барлық мүшелерді бір жағына жинап және e^kx-ке қысқартсақ:

Алынған жүйенің нөлден өзге шешімі бар болуы үшін жүйе анықтауышы нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни:

Анықтауышты есептеу нәтижесінде k-ға қатысты үшінші дәрежелі теңдеу аламыз. Бұл теңдеу сипаттамалық теңдеу деп аталады және оның k₁, k₂, , k₃. үш түбірі болады. Оның әрқайсысына (1) жүйенің нөлден өзге шешімі сәйкес келеді:

Бұл шешімдердің сызықтық комбинациясы (1) жүйе шешімі болады:

Мысал 1: Жүйенің жалпы шешімін тап:

Сипаттамалық теңдеу құрастырайық:

Теңдеулер жүйесін шешейік:
k₁үшін:

делік (кез келген мән қоюға болады), сонда:
k₂ үшін:

делік (кез келген мән қоюға болады), сонда:
Жүйенің жалпы шешімі:
Бұл мысалды басқа тәсілмен шығаруға болады: Бірінші теңдеуді дифференциалдаймыз:

Бұл өрнекке екінші теңдеудегі туындыны у =2x + 2y қоямыз.

Оған бірінші теңдеуден у тауып қоямыз:

деп белгілей отырып, жүйе шешімін аламыз:

Мысал 2: Жүйенің жалпы шешімін тап:

Бұл жүйе жоғарыда қаралған жүйеден басқа текті, себебі біртекті емес (теңдеуде х-тәуелсіз аргумент бар). Шешу үшін бірінші теңдеуді х бойынша дифференциалдаймыз:

Екінші теңдеудегі z’ алмастырсақ, онда: .
Бірінші теңдеуден z –ті тауып осыған қойсақ, онда:
Енді алынған екінші ретті дифференциалдық теңдеуді шешейік:

Біртекті теңдеудің жалпы шешімі:
Енді біртекті емес теңдеудің дара шешімін табайық:

Біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі:

Алынған нәтижені жүйенің бірінші теңдеуіне қоямыз:

жүктеу 2,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 69 70 71 72 73 74 75 76 ... 175