Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМДЕРІНІҢ ОРНЫҚТЫЛЫҒЫ

жүктеу 2,26 Mb.

бет	74/175
Дата	16.01.2020
өлшемі	2,26 Mb.
	#26847

1 ... 70 71 72 73 74 75 76 77 ... 175

5 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ШЕШІМДЕРІНІҢ ОРНЫҚТЫЛЫҒЫ

5.1 Шешімдердің Ляпунов бойынша орнықтылығы. Бірінші жуықтау бойынша орнықтылық.

1. Шешімдерді бірінші жуықтау бойынша орнықтылыққа зерттеу Ляпуновтың бірінші теоремасына негізделеді.

Векторлық түрде жазылған келесі жүйені қарастырайық.

 R, f :

Мұндағы нүктесі келесі шартты қанағаттандырады: жүйенің стационарлық нүктесі деп аталады.  сол жүйенің шешімі екендігі белгілі. Осы шешімді орнықтылыққа зерттейік. Ол үшін функциясын нүктесінде Тейлор қатарына жіктейік

Мұндағы  -дегі Якоби функциясының матрицасы; Егер -матрицасының өзіндік мәндері тек нақты теріс бөліктен тұрса, онда асимптоталық орнықты. Егер өзіндік мәннің кемінде біреуі оң нақты бөліктен тұрса , онда шешім орнықсыз.

2. п - ші ретті дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін орнықтылыққа зерттеу сипаттамалық теңдеудің шешімдерінің барлық нақты бөлігінің теріс болу шартына әкеледі. Ал ол шарт Раус- Гурвиц критерийі бойынша тексеріледі.

Мысал 1. Жүйенің нөлдік шешімін бірінші жуықтау бойынша орнықтылыққа зертте.

Шешуі. (0,0) нүктесінде f функциясының Якоби матрицасын табайық:

 .

Осы матрицаның өзіндік мәндері : ₁ = 2 + , ₂ = 2 - теріс сандар. Ендеше нөлдік шешімі асимптоталық орнықты.

Мысал 2. y + 2y + 2y + 3y = 0 теңдеуінің нөлдік шешімін орнықтылыққа зертте.

Шешуі. Гурвиц матрицасын тұрғызайық:

=

Бұл матрицаның негізгі минорлары оң, ендеше сипаттамалық теңдеудің шешімдерінің нақты бөліктері теріс. Ендеше, нөл орнықты.

жүктеу 2,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 70 71 72 73 74 75 76 77 ... 175