Ыќтималдыќтар теориясы жєне математикалыќ статистика

Есептің  қойылуы:   

Қандайда  бір   

0



  үшін  сәйкес    

 

x

F

0



   үлестірім   функциясы  



- дің  үлестірім    

функциясы  болып  табылады,  яғни     

 

 

x

F

x

F

0







 .   

Мәселе – сол    

0



-ді   таңдамадан   пайдаланып  жуықтап  табу  керек .   

Қойылған    есепті    шешу    үшін   



-ден    алынған         

     

 

*

*

3

*

2

*

1

,...,

,

,









n

x

x

x

x

      таңдаманы    

пайдаланамыз.   



  -    белгісіз      параметрінің      мағынасына      қарай    (  ол    әртүрлі    мысалдарда    әрқалай  

болады)   

                                                  









n

n

R

u

u

u

:

,...,

,

2

1



   

функциясын  құрады  және  ол  арқылы   мына   функцияға    келеді   

                                   

 

   

 















*

*

*

2

*

1

*

:

,...,

,













n

n

x

x

x

 .  

Бұл   функция   



 -  белгісіз   параметрінің   

бағасы 

   деп  аталады.  

n





 - ге   келесі  талаптар   қойылады: 

1.

  Егер   









   үшін    









n

M



 болса,  онда  

n





 - бағасы   

ығыспаған  баға

  деп  аталады.   

2.

  Егер     

0







   үшін     

 





0

:

*

*

*











n

n

P















    болса,  онда  

n





- бағалар   тізбегі  

тиянақты

   

деп  аталады.  

3.

  Егер   

*

n





  -  бағасы    

            

2

2

inf

*





















n

n

M

M

n





   

теңдігін   қанағаттандырса,  онда   

*

n





  -  бағасы    

эффективті 

  деп  аталады. 

 

36.  Математикалық   күтімнің   бағасы – таңдамалық   орта 



 -  бақыланатын   кездейсоқ  шамасы  берілген.  Оның   үлестірімі   

 





М



    параметрімен    бірмәнді   

анықталғаны      белгілі    болсын    (мысалы,  бинамиамды    үлестірім:  белгісіз      параметрлер    ретінде    

 





M

p





 ;   көрсеткішті   үлестірім : 

 







M





 ;  қалыпты  үлестірім :  

 





M

a





 ;  т.с.с.). 

Мақсат:  

 





M



    параметрлері  үшін   баға  құру.   

Ол  үшін   таңдама  керек:   

 

 

 

*

*

2

2

*

1

1

,...,

,







n

n

x

x

x

x

x

x







 -    



 -ден   алынған    таңдама.   

             

 





M

a





 

Баға   ретінде:             

   

x

n

x

x

x

a

n

n

n













...

2

1

*

*











                          (36.1) 

таңдамалық   орта

   деп  аталатын   кездейсоқ  шама   алынады.  Бағаны  бұлай  алуға   себеп   болатын  

математикалық   күтімнің  практикалық  мағынасы  және  үлкен  сандар   заңы.   

Бұл  баға  

ығыспаған 

  және  

тиянақты 

 болатынын   көрсетейік:  

1)     

 





 

 

 









a

a

a

a

n

x

M

x

M

x

M

n

x

x

x

M

n

x

M

n

n



























...

1

...

1

...

1

2

1

2

1

     

 

2)

    

0







   берілсін,  

 







D

     екені   белгілі  болсын.  Онда   

 

 

__33__ 

      





 





 

 

 





 

 

 

 





 

 

0

1

...

1

:

:

:

2

2

2

2

1

2

2

2

2

*

*

*

*









































n

n

n

D

nD

n

x

D

x

D

x

D

n

D

M

P

x

D

x

M

x

P

a

x

P



































 

Демек   бұл   баға  математикалық  күтім   үшін   тиянақты  баға  болады. 

 

37.  Белгісіз   дисперсия  үшін   баға – таңдамалық   дисперсия 



 -  бақыланатын   кездейсоқ    шама  болсын, оның    

 





D



2

    дисперсиясы   белгісіз  болсын.  

 

 

 

*

*

2

2

*

1

1

,...,

,







n

n

x

x

x

x

x

x







   -   таңдама   

Мақсат:   

2



 -  қа  баға   құру   

Ол  үшін  дисперсияның  анықтамасын   еске   түсірейік:  

                                            

 

 





2

2









М

М

D







 

Бұдан   баға   

                                                













n

i

i

n

x

x

n

1

2

2

1





                                      (37.1) 

болуы     мүмкін    деген   ойға   келеміз. 

 

 

2

2

1





n

n

M

n







    -    ығыспаған   баға .  Бұдан   бұл  баға    

2



   үшін    ығыспаған   болмайтындығы    

көрініп   тұр.  Ығыспаған   баға   алу  үшін  бұл   теңдіктің  екі   жағында      

1



n

n

  -  ге     көбейтеміз. Сонда    

                                                 

2

2

1

















 

n

n

n

M



   

Бұдан    бұны    

2

s

   деп   белгілейік:   

                                            



















n

i

i

n

x

x

n

n

n

s

1

2

2

2

1

1

1





                         (37.2) 

(37.1) – дисперсияның    ығысқан   бағасы   деп   аталады   

(37.2) – дисперсияның    ығыспаған   бағасы   деп   аталады.  

 

38.  Моменттер  үшін   бағалар 



 -  бақыланатын   кездейсоқ    шамалар  болсын.  

                                 

 

k

k

M







    

                            

 









k

k

M

M

m









        

k



 –   



-дің    

k

    ретті    моменті    деп    аталады. 

k

m

 –  



-дің    

k

    ретті   центрленген    моменті    деп    аталады. 

 

Бағалары  сәйкесінше   былай   болады:  

                                               



















n

i

k

i

n

k

n

i

k

i

n

k

x

x

n

m

x

n

1

,

1

,

1

1







 

 

__34__ 

39.  Бағаны   құрудың   максимал  шындыққа  ұқсастық  әдісі 



 -  бақыланатын   кездейсоқ    шамалар  болсын,  мұны   « бас  жиынтық »  деп  те  атайды.  Ол  абсолют  

үзіліссіз   болсын.   

 













,

x

p

  -    тығыздық        функциялар    үйірі      берілген,     

 



,

x

p

  -  лардың    бірі     



-  дің    тығыздығы  

екендігі   белгілі.  

                      





m









,...,

,

2

1



 

              

n

x

x

x

,...,

,

2

1

  -   таңдама  

Бұл   кездейсоқ    шамалардың   ортақ   тығыздығы  мынадай  болады: 

                                                 

   

 

n

u

p

u

p

u

p













...

2

1

 

Идея:  Кездейсоқ   вектордың   ең   ықтимал    мәндері   жиі  шығуы тиіс.  Сондықтан   

        







 











m

n

m

m

m

n

x

p

x

p

x

p

x

x

x

L

























,...,

,

,

...

,...,

,

,

,...,

,

,

ln

,...,

,

,

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1









 

функциясын    қарастырады.   

n

x

x

x

,...,

,

2

1

  -    бекітілген      деп      есептеп,         

m







,...,

,

2

1

    -  айнымалыларына   

қатысты   максимум   нүктесін   табады.   

                                        





















































0

,...,

,

,

,...,

,

.........

0

,...,

,

,

,...,

,

0

,...,

,

,

,...,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

m

n

m

m

n

m

n

x

x

x

L

x

x

x

L

x

x

x

L

























  

осы    жүйені   

i



 - ге   қатысты   шешсек   

                                         













n

n

m

m

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

,...,

,

..

..........

,...,

,

,...,

,

2

1

,

2

1

,

2

2

2

1

,

1

1

























 

Бұл      табылған     бағалар     көп       жағдайда       тиімді      баға     болатындығы    математикалық    статистикада    

дәлелденеді. 

 

Есеп:  



~

 

2

,



a



  

-   қалыпты   үлестірілген,  бірақ    

2

,



а

    белгісіз.  Максимал   шындыққа   ұқсастық   

әдісін   пайдаланып   

а

   мен    

2



 -қа     баға   құру .  

 

40.  Баға  құрудың   моменттер   әдісі

 

 



 -  бақыланатын   кездейсоқ    шама    абсолют  үзіліссіз   болсын. 

















m

m

x

p













,...,

,

2

1

2

1

,...,

,

,

  -   тығыздықтар   жиынтығы.   Олардың   біреуі   



-дің    тығыздығы   екені   

белгілі.  

                             

 





m

k

k

k

M

















,...,

,

2

1

,





  ,   





m

k

,...,

2

,

1



 

                                     

                                              















































n

n

k

m

k

n

n

m

n

n

m

x

x

x

x

x

x

x

x

x

,...,

,

,...,

,

.

..........

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

2

1

,

2

1

2

1

,

2

2

1

2

2

1

,

1

2

1

1





































 

 

__35__ 

m







,...,

,

2

1

  -   ді   белгісіз   деп   алып   жүйені   шешсек   

                                                          













n

n

m

m

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

,...,

,

..

..........

,...,

,

,...,

,

2

1

,

2

1

,

2

2

2

1

,

1

1

























 

Есеп:  



~

 

2

,



a



  

-   қалыпты   үлестірілген   деп   алып,  моменттер  әдісіне   сүйеніп 

а

   мен    

2



 -қа     

баға   құру .    

 

41.  Белгісіз   параметр   үшін  сенімділік   интервалы 

( интервалды  бағалар ) 

 

1.  Дисперсиясы      белгілі,    қалыпты    үлестірілген      бақыланатын    кездейсоқ      шаманың      белгісіз  

математикалық   күтімі   үшін  сенімдік  интервалы. 

     



  -      бақыланатын        кездейсоқ        шамасы      қалыпты      үлестірілгендігі,      оның       

 





D



2

0

      -  

дисперсиясы   белгілі   болсын.  

 

 



M

a



   -  математикалық   күтімі    белгісіз 

   

n

x

x

x

,...,

,

2

1

  -    



- ден   алынған   таңдама 

Демек,   

i

x

~





2

0

,



a



  ,  











 

____

,

1

n

i

  

а

   үшін    баға     

n

x

x

x

x

n









...

2

1

     болатын.   

   

 

n

x

x

x







...

2

1

 ~





2

0

,



n

na



     

болатыны   белгілі.   Олай  болса     

                             

n

na

x

x

x

n

0

2

1

...











  ~ 

 

1

,

0



  

Бұдан  алымы   мен   бөлімін   

n

 - ге   бөлсек    

                                     

n

a

x

0





  ~  

 

1

,

0



      

0





t

     үшін   

                     









































t

t

u

du

e

t

n

a

x

t

P

2

0

2

2

1

:







 

болдаы. 

 

1

,

0





  -   саны  берілсін  (сенімділік   деңгейі, басқаша  айтса, қажет  ықтималдық) 

Содан    



t

  санын   

                           













t

t

u

du

e

2

2

2

1

   ,       























2

2

1

/

0

2

2







t

u

du

e

е

н

 

болатындай    етіп   таңдайды.  Сонда    

                                  









t

n

x

a

t

n

x

0

0









 

интервалы   белгісіз   

a

   үшін   маңыздылық   



  болатын   

сенімділік  интервалы

  деп  аталады.  

__36__ 

Бұл  мысалда   

x

  -    

a

  үшін   нүктелі   баға,   ал     

























t

n

x

t

n

x

0

0

,

   -   

a

   үшін  интералды   баға.  

Интервалды   бағада   мәлімет  көп,  ол    

x

  кездейсоқ   шамасының    

a

- ны  қандай   дәлдікпен   жуықтау   

ықтималдығын     қандай   екендігін   көрсетіп   тұрады.  

 

2.  Математикалық   күтімі   белгілі,  қалыпты   үлестірілген   бақыланатын  кездейсоқ  шаманың   

белгісіз  дисперсиясы   үшін   сенімдік    интервалы 



 -   бақыланатын    кездейсоқ    шамасы   қалыпты   үлестірілген,   оның     

 



M

a



0

  математикалық   

күтімі    белгілі.   

     

 





D



2

  -  дисперсиясы    белгісіз  

         

n

x

x

x

,...,

,

2

1

  -   таңдама  

Есеп:   

   

n







,...,

,

2

1

      -       

n

    тәуелсіз      кездейсоқ      шамалар,      әрқайсысы      қалыпты      үлестірілген     

  

i



~

 

1

,

0



  ,  





n

i

,...,

1



. 

                                           

 

2

2

2

2

1

2

...

n

n



















       

кездейсоқ    шамасының  үлестірімі  хи – квадрат    үлестірімі    деп  аталады.  

                                                 



0

a

x

i



 

~

 

1

,

0



    

болады.  Олай  болса        















 

n

i

i

a

x

1

2

0



  -   үлестірімі   хи – квадрат (белгілі).  

          















2

1

;

0



  -   саны   беріледі   

         





2

1





   -   маңыздылық   деңгейі  











1

,

,

,

n

n

    сандарын  мына  теңдіктерден   анықтайды : 

                              

 















,

2

n

n

du

u

p

     ,        

 















,

2

n

n

du

u

p

   

( таблицадан   қаралады ) 

                                                   









,

1

,

n

n





     

                                     















,

1

2

0

2

1

,

1

n

n

i

i

n

a

x













 

                                     





































1

,

1

2

0

2

,

1

2

0

n

n

i

i

n

n

i

i

a

x

a

x

 

Бұл  

2



   үшін   маңызжылық  деңгейі    





2

1





  болатын   

сенімділік   интервалы

. 

 

3.  Математикалық    күтімі    де,  дисперсиясы      да        белгісіз    қалыпты      үлестірілген    бақыланатын  

кездейсоқ  шаманың   математикалық   күтімі   үшін  сенімділік   интервалы 



 -   бақыланатын    кездейсоқ    шама ,   



~

 

2

,



a



  

,  бірақ    

2

,



а

    белгісіз.  

а

   үшін  сенімділік  интервалын   құру  керек.  

            

n

x

x

x

,...,

,

2

1

  -   таңдама  

 

                         

i

x

~

 

2

,



a



 

                                

n

x

x

x







...

2

1

 ~





2

,



n

na



     

    

                   

__37__ 

                                   

n

na

x

x

x

n











...

2

1

  ~ 

 

1

,

0



  

алымын  да,  бөлімін  де   

n

-ге    бөлеміз,  сонда   

                                           

n

a

x





  ~  

 

1

,

0



      



 -  белгісіз,  сондықтан   бұл   жерде   

а

- ға   интервал   құра   алмаймыз. 

Идея: белгісіз   

2



-ты    оның   бағасы    





n

x

x

x

s

s

,...,

,

2

1

2

2



- пен   ауыстырамыз. Сонда    

                                                     





s

a

x

n



 

өрнегіне  келеміз.  Бірақ  бұл  өрнектің  үлестірімі  

 

1

,

0



   болмайды,  өзгеріп  кетеді. Енді  осы  өрнектің   

(кездейсоқ   шаманың )  үлестірімін  айқын   түрде  табу   мәселесі  туындайды.  

Теорема(Фишер)  

Егер    

i

x

~

 

2

,



a



    

және   өзара  тәуелсіз  болса,  онда   

1)

  





2

2

1



s

n



-тың   үлестірімі    

2

1



n



   болады,   

2)

   

x

  мен  

2

s

  өзара   тәуелсіз  болады. 

Дәлелдеуі:  

 

1)     



a

x

y

k

k





  ~

 

1

,

0



    











 

____

,

1

n

k

  

Сонда     

                   













 











































n

k

k

n

k

k

n

k

k

n

y

y

n

y

y

n

x

x

n

s

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1





  

осы   жерде  ортогональ   түрлендіру  

                              





n

nn

n

n

n

n

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y

y

n

y

n















































...

.........

..........

...

...

1

2

2

1

1

2

2

22

1

21

2

2

1

1

  

Мұндағы                

                          



































nn

n

n

n

n

A









.....

..........

..........

.

....

..........

..........

1

..

..........

..........

1

1

.

2

21

 

ортогональ    матрица. 

                                        

y

A









 

Сонда           



































n

k

k

n

k

k

n

n

s

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1









    

   

k



 

~

 

1

,

0



   -   

өзара   тәуелсіз    

2)

     

x

n





1



       



      

n

x

1





   

       

n







,...,

,

2

1

  -   өзара   тәуелсіз   

Олай  болса   

x

  мен   

2

s

   өзара   тәуелсіз    

__38__ 

                             









1

2

2

2

2

1

1

1

/

/





















n

def

s

n

n

n

a

x

s

n

a

x

s

a

x

n











 

Бұл    кездейсоқ    шаманың    айқын   түрі   табылады.  Оның   тығыздығы  

                                                    

2

1

2

1

1

1

























n

n

x

p

n



 

Стьюдент    үлестірімі   деп    аталады.  

                                                    









t

s

a

x

n

t









 ,  бұдан        





t

n

s

x

a

t

n

s

x









    .