Жалпылау, абстракциялау және нақтылау. Жалпылау деп объектілер мен құбылыстардың тек берілген класына тән қайсыбір ерекше қасиеттерін ойша айыру, белгілеу тәсілін айтады.
Мәселен, сан ұғымын дамыту жалпылау түрінде қалыптастырылады. Оқушылар алғашында натурал сандармен таныстырылады; содан кейін «нөл» саны енгізіліп, амалдарды бүтін (оң) сандар жиынында орындайды, ақырында, бірте-бірте рационал, иррационал және нақты сандар енгізіліп, сан ұғымы жалпылана береді.
Сондай-ақ, оқушыларға
формуласы мәлім және де, олар көпмүшені көпмүшеге көбейту амалын толық игерген. Сондықтан, мүғалім үй тапсырмасы ретінде
(а + b + с) (а + b + с) = (а + b + с)2
үшмүшесін квадраттауды беруге болады. Бұл:
Осы формуланы п мүшеге арнап жазып, тиімді жалпылау жасауға болады. Бұл жалпылау арқылы п мүшенің квадратын есептеудің қысқа формуласын көрсетуге
немесе символын пайдаланып қысқаша
түрінде жазуды оқушыларға үйретуге болады.
Бүл мысалдардан шығатын қорытынды: жалпылау дегеніміз объектілердің берілген жиынын қарастырудан осы жиынды қамтитын неғұрлым ауқымды жиында қарастыруға көшу болып табылады екен.
Сонымен бірге, объектідегі тұрақты шаманы айнымалы шамамен алмастыру арқылы жалпылау жасауға болады. Мәселен, 2 + 4 = 4 + 2, 3+1 = 1+3, 7+9 = 9 + 7 сияқты нақты мысалдарды қарастыра отырып, қосудық жалпы заңын өрнектейтін □ + ∆ = ∆ + □ форманы аламыз. Осындағы «квадраттар» мен «үшбұрыштарды» тиісті әріптермен белгілеп а + b = b + а немесе х+у = у+х теңдіктерін аламыз.
Объектіге қойылатын шарттарды кеңейту арқылы немесе олардан бас тарту арқылы (мәселен, жалпылау жасауға болады.
Абстракциялау деп зерттеліп отырған заттың немесе құбылыстың мардымсыз сипаттары мен байланыстарын ой жүзінде елеусіз қалдырып, олардың жалпы, аса маңызды қасиеттері мен қатынастарын айқындайтын таным процесінін, бір кезеңін айтады [10,32].
Абстракциялауды қарапайым түрде былай түсінуге болады: инженер-жобалаушы үйге құбыр жүргізуді жобалағанда алдымен оның басқа қасиеттерін елемей, ұзындығын өлшейді, яғни құбырдың геометриялық сызықтар түріндегі абстракциялық моделін жасайды. Содан соң құбырдың тиімділігін арттыру мақсатында, оны қалай ию немесе қандай мөлшерде кесіп-жалғау керектігін зерттейді. Мұнда тағы да геометриялық дене түрінде құбырдың абстрактілік моделі жасалады. Ақырында, сыртқы табиғи әсерден сақтау үшін, құбырды бояу немесе қаптау керек. Мұнда тағы да қүбырдың абстрактілік моделін — геометриялық бет ұғымын қарастыруға мәжбүр болады.
Жобалаушының қызметіне ден қойсақ, ол нақты объекті — құбырдың пішініне, мөлшеріне, сапасына, ұзындығына, салмағына, түр-түсіне назар аудармай, оны тек геометриялық объект түрінде ғана қарастырып отыр.
Абстракциялау таным процесінде екі түрде көрінеді.
Абстракциялаудың бірінші түрі затты сезімдік қабылдауда оның бірсыпыра қасиеттерін мардымсыздандырып, басқа кейбір қасиеттерін іріктейді. Мәселен, қайсыбір затты геометриялық дене ретінде қарастыра отырып, оның тек пішініне, мөлшеріне, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі орнына ғана назар аударады.
Абстракциялаудың екінші түрі сезімдік танумен шектелмейді. Мұнда заттар мен құбылыстардың қасиеттерін іріктеп қана қоймай, оларды түрлендіреді. Мысалы, үшбұрыштарды бұрыштары бойынша сараптай отырып, оқушылар абстракциялау арқылы, оның қабырғаларының әр түрлілігін мардымсыздандырып, тек «үшбұрыш» ұғымына ғана амалдар қолданады.
Сөйтіп, абстракциялаудың өзі зерттелетін заттар мен құбылыстардың елеусіз қасиеттерін ойша мардымсыздандырып, зерттеуге қажетті қасиеттерін ғана іріктеп алу тәсілі екен.
Мүғалім оқу процесіне абстракциялауды неғүрлым ерте енгізсе, ол соғүрлым нәтижелі болмақ. Мәселен, 3·2 = 6 теңдігін қарастырайық. Осы теңдік арқылы абстракциялаудың табиғатын көрсетуге болады. Расында, 3·2 = 6 теңдігінің нақты мазмұны қандай? Бұл теңдік үш дәптердің құнын, жолаушының екі сағатта жүрген жолын немесе тік төртбұрышты егістіктің ауданын көрсетеді. Мұндағы ең маңызды нәрсе — абстракциялау арқылы құбылыстың моделін жасап, оны түсіндіру.
Объектілер мен құбылыстарды абстракциялау тәсіліне қарама-қарсы тәсіл – нақтылау болып табылады.
Нақтылау деп, әдетте, неғүрлым жалпыдан жекеге көшу ережесін түсінеді. Бұл ереженің мағынасы мынадай: егер қайсыбір объектінің барлық элементтері Р қасиетіне ие болса, онда осы объектінің кез келген бір р элементі де сол қасиетке ие болады. Мәселен, қосудың а+(b + с) = a + Ь)+с терімділік закын нақтылап 12+(7 + 21) = (12 + 7)+21 теңдігін табамыз. Немесе а2–Ъ2= (а + Ь) (а — Ь) формуласын нақты жағдайға ыңғайлап; 162 —92= (16 + 9) (16 — 9) =257 = 175 мәнін оп-оңай таба аламыз.
Бұл мысалдардан нақтылауды пайдаланып, жалпыдан жекеге көшу тәсілін керсететінін байқау қиын емес.
Математиканы оқыту процесінде объектілер мен құбылыстарды жалпылау, абстракциялау және нақтылаумен қатар кейбір қасиеттерді тарату (специализациялау) жиі қолданылады. Қасиеттерді таратудың мағынасы қайсыбір жиын элементтерінің қасиеттерін осы берілген жиынға ішкі жиын болатын басқа бір жиын элементтеріне тарату (телу) болып табылады. Мәселен, көпбұрыштардың қасиеттерін қарастырудан дұрыс көпбұрыштын, қасиеттерін қарастыруға, одан дұрыс үшбұрыштың қа-сиеттерін қарастыруға көшсек, онда бір көпбұрыштын, кейбір қасиеттерін дұрыс көпбұрышқа, дұрыс көпбұрыштың қасиеттерін дұрыс үшбұрышқа таратамыз.
Мысалы, үшбұрыш ауданынын S= формуласын тік
бұрышты үшбұрыштың ауданын есептеуге таратсақ, ол S= түрінде болады, ал дұрыс үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған формула S= түрінде жазылады.
Жалпылаудын, көмегімен мынадай үйғарым жасауға болады: егер тік бұрышты үшбұрыштың үш қабырғасына үш ұқсас көпбұрыш салынса, онда гипотенузаға салынған кепбұрыштың ауданы катеттеріне салынған көпбұрыштардың аудандарының қосындысына тең.
Тік бұрышты үшбұрыштың төбесінен гипотенузасына биіктік түсіріп, қасиеттерді тарату арқылы жоғарыдағы ұйғарымның дербес жағдайын табамыз (3-сурет). Расында, АВС — тік бұрышы, АВD және ВСD үшбұрыштары ұқсас. Олай болса, АВС тік бұрышты үшбұрышының ауданы АВD және ВСD тік бұрышты үшбұрыштары аудандарының қосындысына тең.
Сабақ үстінде жалпылауды, абстракциялауды, нақтылауды және қасиеттерді таратуды нақты мысалдармен керсетудін, тәрбиелік мәні зор.
Достарыңызбен бөлісу: |
