-апта №2 дәрістің тақырыбы

№2 дәрістің тақырыбы: Бүтін сандардың бөлінгіштігі.

1. Евклид алгоритмі.

2. Рационал сандарды q-ші бөлшек түрінде көрсету.

Әдебиеттер:[1], [3],[4],[6].
Евклид алгоритмі (бүтін сандар үшін).

Евклид алгоритмі де жалпы алгоритмі ұғымы тәрізді шекті және үздіксіз процесс.Евклид алгоритмі шекті болатын себебі әрбір шығатын қалдық оң және алдыңғысынан кіші.Ал оң бүтін сан шексіз азая алмайды.Әйтеуір бір қадамнан кейін қалдық нолге тең болады.

Теорема: Берілген екі бүтін сан үшін құрылған Евклид алгоритмдегі ең соңғы нөлден өзге қалдық сол екі санның ЕҮОБ болады.

Дәлелдеуі: 1) Берілген , сандары үшін жоғарыда құрылған Евклид алгоритмінің ең соңғы теңдігінен , ал болғандықтан бөлінгіштік қатынасының қасиеттері бойынша алгоритмдегі соңынан 2­ші теңдіктен аламыз. Осылайша Евклид алгоритмінің соңғы теңдігінен жоғары көтеріле отырып қалдықтарының -ға бөлінетінің аламыз.Онда бөлінгіштіктің қаситтерін пайдаланып алгоритмнің жоғарыдағы екі теңдігінен болатыны шығады.

Бұдан -ОБ , .

2) Айталық ­ОБ , яғни алгоритмнің 1­ ші теңдігінен т.с.с. алгоритмдегі теңдіктер бойынша төмен жылжи отырып, қалдықтарының да ­ ға бөлінетіндігін аламыз.Бұл ­ ЕҮОБ , .

Теорема дәлелденді:

Мысал 1.

2.

Рационал сандарды q-ші бөлшек түрінде көрсету.

1)Ондық бөлшекті жай бөлшекке түрлендіру.

Кез-келген ондық бөлшекті

a=A, ₌ A+

деп жазуға болады. Бөлшекті ортақ бөлімге келтірсек және бөлшекті қосуды орындасақ мынау шығады:

Мысал.

Шыққан жай бөлшектің алымы бүтін сан болып табылады да, ал оның бөлімі, берілген ондық бөлшектің соңғы ондық таңбасы қай үлесті көрсетсе, бірліктің сол үлесін көрсетеді.

Ендеше, берілген ондық бөлшекті жай бөлшек түрінде жазу үшін үтірді алып тастап, шыққан санды жай бөлшектің алымы етіп алып, ал оның бқліміне 10 санының, берілген ондық бөлшектің соңғы ондық таңбасы қай үлесті өрнектесе, бірліктің сондай үлесін өрнектейтін дәрежесі алынады.

Мысал.

2)Периодты бөлшектер.

Берілген қысқартылмайтын бөлшегінің бөлімінде жай көбейткіштер 2 мен 5 мүлдем болмаса немесе бұл жай көбейткіштермен қатар басқа да жай көбейткіштер болған жағдайда көбейтіндіні b-ге алымды бөлімге бөлуді шексіз орындай беруге болады, өйткені егер бөлу аяқталатын болса, онда бөлшегі дәл ондық бөлшекке айналған болар еді, ал бұл қарастырылып отырған жағдайда бұлай болуы мүмкін емес. Олай болса, бөлуде b бөлгіштен кем болатын қандай да болса бір қалдық шығып отырады. Сонымен бұл қалдық 1,2,3,4,...,(b-1) натурал сандардың қатары болу керек. Бұдан кемінде b-қалдықта (мүмкін бұдан да бұрынғы қалдықта) натурал қатардың жоғарыда көрсетілген сандарының біреуі шығуы керек деп айтуымызға болады. Қалдықтың біреуі қайталанатын болса, онда бөліндінің бұған сәйкес цифры да қайталанатын болу керек. Осыдан кейін қалдық та, бөліндінің цифрлары да бұрынғы ретімен қайталай бастайтындығы өзінен-өзі түсінікті.

Бір цифры немесе бірнеше цифрларының тобы өзгермей біркелкі қайталап отыратын шектеусіз ондық бөлшек периодты бөлшек деп аталады.

Бір қалыпты қайталап отыратын цифрлардың тобы осы бөлшектің периоды деп аталады.

Периодты бөлшектер таза және аралас периодты болып екіге бөлінеді.