Көрсеткіштік үлестірім
Практикада ықтималдық теориясының қолданылуында, мысалы, сенімділік теориясында, жаппай қызмет ету теориясында және т.б. үлестірімнің көрсеткіштік немесе экспоненциалды заңы қолданылады.
Анықтама.
Егер үлестірім тығыздығы түрінде берілсе, мұндағы >0 – үлестірім параметрі, онда Х үзіліссіз кездейсоқ шамасы көрсеткіштік заңмен үлестірілген делінеді.
Үлестірім функциясын табайық .
7 және 8 суреттерінде f(x), F(x) графиктері кескінделген
7 сурет 8 сурет
Көрсеткіштік үлестірімнің сандық сипаттамалары:
1) математикалық үміт = = = ;
2) дисперсия = = ;
3) орта квадраттық ауытқуы .
Сонымен, көрсеткіштік үлестірімнің , бұл теңдікті практикада кездейсоқ шаманың көрсеткіштік үлестірілген гипотезасын тексеруде қолданады.
интервалына түсу ықтималдығы:
= .
Көрсеткіштік үлестірімнің сенімділік теориясында қолданылуын қарастырайық. Кейбір қондырғыны, қарапайым ба, күрделі ме, бұдан былай элемент деп атайтын боламыз. Элемент моментінен бастап жұмысын бастасын, ал уақыттан соң жұмысын аяқтасын деп ұйғарайық. Үзіліссіз кездейсоқ шаманы – элементтің мүлтіксіз жұмыс істеу уақытын Т арқылы белгілейік. үлестірім функциясы уақыт ішіндегі істен шығу ықтималдығын анықтайды. Олай болса, сол уақыттағы мүлтіксіз жұмыс істеу ықтималдығы (яғни қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы):
.
функциясын сенімділік функциясы деп атайды, ол уақыт ішіндегі мүлтіксіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтайды. Т жиі көрсеткіштік заңмен
үлестірілген, сонда , ал = . Бұл жағдайда сенімділіктің көрсеткіштік заңы деп атайды, ал істен шығудың интенсивтілігін анықтайды.
Қалыпты үлестірім
Үлестірімнің қалыпты заңы– ықтималдық теориясында маңызды заң. Мысалы қалыпты заңмен үлестірілген кездейсоқ шамалар: өлшеу және бақылаудың кездейсоқ қателері; оқ атқанда мәреден кездейсоқ жаңылуы кездейсоқ ауытқулары және т.б. Басқа заңдардан қалыпты заңның негізгі ерекшелігі – ол қандай да бір шарттарда басқа үлестірім заңдары ұмтылатын шектік заң болып табылады.
Анықтама.
тығыздығымен сипатталатын кездейсоқ шаманың ықтималдығының үлестірім заңы қалыпты заң деп аталады.
Сонымен, қалыпты үлестірім екі параметрмен және анықталады. Осы параметрлердің ықтималдық мағынасын ашайық. болатындығын көрсетейік:
= = =…= .
Толығырақ мәліметті [1], 145 беттен қараңыз. Сол сияқты, :
= = =
= = =…= .
Бұдан орта квадраттық ауытқу . Егер =0 және =1, онда қалыпты үлестірім нормаланған деп аталады.
Ықтималдықтың қалыпты үлестірімінің тығыздығының графигі қалыпты қисық немесе Гаусс қисығы деп аталады. функциясын математикалық талдау әдістерімен зерттеп, оның графигін саламыз:
а) анықталу облысы ;
б) график ОХ осінен жоғары орналасқан, себебі үшін ;
в) , яғни ОХ – көлденең асимптота;
г) , - кризистік нүкте; егер және егер , онда , ;
д) екінші туынды арқылы иілу нүктесін табамыз және . Сонымен, Гаусс қисығы:
9 сурет
және параметрлерінің өзгерісінің қалыпты қисықтарға келтіретін әсері:
а) бір болғанда шамасының өзгеруі қалыпты қисықтың формасын өзгертпейді, тек ОХ осі бойында болса солға, болса оңға жылжиды;
б) болғандықтан, өскен сайын максималды ордината кемиді және керісінше; үлестірім қисығымен шектелген аудан әрқашан бірге тең болғандықтан, өзгергенде тек қисықтың формасы ғана өзгереді: өскен сайын ол жатық болады және ОХ осі бойымен созылады.
Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың берілген интервалға түсу ықтималдығын табамыз :
= = = =
= – = = = – .
Лаплас функциясының мәндерін арнайы кестеден немесе Mathcad жүйесінде алынады. Бұл функцияның қасиеттері:
1) кез келген х үшін анықталған;
2) ; ;
3) , тақ функция;
4) .
Сонымен, Лаплас функциясының графигі:
10 сурет
Лаплас функциясы арқылы қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың F(x) үлестірім функциясы анықталады:
= - = = + = = + 0,5.
Практикада қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың а – математикалық үміттен ауытқуының абсолют шамасы бойынша санынан кіші болу ықтималдығын, яғни басқаша айтқанда, бұл кездейсоқ шаманың сейілу центрі -ға салыстырмалы симметриялы интервалына түсу ықтималдығын есептеуге тура келеді.
Расында, болғандықтан,
= - = .
Сонымен, аз болған сайын (яғни сейілу), соғырлым қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың интервалына түсу ықтималдығы үлкен. -тің барлық мәндері енетіндей центрі а нүктесінде болатын қандай интервал алуға болатынын анықтайық. мәндерінің кестесін қолданамыз:
= =0,6826;
= =0,9594;
= =0,9973; = =0,999936.
Сонымен, қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың барлық дерлік (~ 99,7%) мәндері интервалына түседі. Бұл тұжырым «үш сигма ережесі» деп аталады.
Достарыңызбен бөлісу: |
