Қайталанбалы алмастырулар.
1-мысал. а) Т, Ә, У, Л, І, К; б) С, А, Х, А, Р, А. әріптерінен қанша сөз (мағынасыз) құрастыруға болады.
Шешуі: а) мұнда әріптер әр түрлі болғандықтан Р6=6! Сонымен
Т, Ә, У, Л, І, К әріптерінен Р6 = 6! = 720 әр түрлі сөз құрастыруға болады.
б) Мұнда қайталанбайтын алмастыруды қолдануға болмайды, себебі
С, А, Х, А, Р, А әріптерінің ішінде А әрпі қайталанады. Бұл әріптерді нөмірлеп кояйық
1, 3, 6 нөмірлі С, Х, Р әріптерді қалдырып 2, 4, 6. нөмірлі А әріптерін алмастырайық, сонда:
1
С
|
2
А
|
3
Х
|
4
А
|
5
Р
|
6
А
|
1
С
|
2
А
|
3
Х
|
6
А
|
5
Р
|
4
А
|
1
С
|
4
А
|
3
Х
|
2
А
|
5
Р
|
6
А
|
1
С
|
4
А
|
3
Х
|
6
А
|
5
Р
|
2
А
|
1
С
|
6
А
|
3
Х
|
2
А
|
5
Р
|
4
А
|
1
С
|
6
А
|
3
Х
|
4
А
|
5
Р
|
2
А
|
2, 4, 6 нөмірлі А әрпін 3!=6 әдіспен алуға болады. Бірақ бұл әріптерді алмастырғаннан жаңа сөз шықпайтынын көру қиын емес, яғни
С А Х А Р А 6 рет кездестіріледі. Кез келген жаңа сөз 6 рет қездеседі (3!=6). Қайталанатын сөздерді алып тастағанда САХАРА әріптерінен алмастырылған сөздер ТӘУЛІК әріптерінен 3!=6 есе кем болады, яғни =4·5·6=120
Бұл сан 6 элементтен құрастырылған алмастыру болып табылады.
k элемент берілсін. Бірінші элемент n1 рет қайталансын, екінші элемент n2, …, к-шы – nк рет қайталансын n1+n2+…+nk= n.
Егер берілген элементтер әр түрлі болса, онда алмастыру саны n!-ға тең болар еді. n элементтердің ішінде қайталанатын элементтері бар алмастырудың саны n! –дан n1! n2! …nк! есе кем болады. Сонда қайталанатын алмастырудың саны мына формула бойынша есептеледі
= (4)
2-мысал. №1, №2, №3, №4 нөмірлі 4 өнеркәсіп бөлімшесіне 10 маманды сәйкесінше 1, 2, 3, 4 мамандар баратындай неше әдіспен бөлуге болады?
Шешуі. Мұнда n= 10, n1 =1, n2 =2, n3 =3, n4 =4, онда (5) формула бойынша әдіспен 10 маманды 4 өнеркәсіп бөлімшесіне бөлуге болатынын есептейміз.
Терулер
Қайталанбайтын терулер. Ньютон Биномы
Егер комбинациядағы элементтердің реті емес, тек оның құрамы қарастырылса, онда сөз теру жайлы болады.
Анықтама. Егер п элементті жиыннан m элементтен алынған таңдамалар бір бірінен ең болмағанда бір элементпен өзгешеленетін болса, онда мұндай таңдаманы п элементтен m бойынша алынған қайталанбайтын теру деп атайды.
Бұл символымен белгіленіп, төмендегі формула бойынша есептелінеді:
= (6)
1-мысал. А, В, С, D төрт элементтен 2 элементті қайталанбайтын орналастырулар және терулер санын табу керек.
Шешуі. Орналастыру формуласы бойынша n=4, m=2, = = , яғни
АВ АС А D ВС ВD СD
ВА СА DА СВ DВ DС
мұнда элементтердің орналасу реті маңызды.
Ал дәл осы элементтер үшін, яғни n=4, m=2 жағдайда, (6) формула бойынша терудің санын табуға болады
= = = =6, яғни
АВ АС АD ВС ВD СD
мұнда элементтердің орналасу реті маңызды емес.
Теру санын есептеуде төмендегі қасиеттерді пайдалануға болады: 1. =1
2. = 1
3. = n
4. =
5.
Соңғы қасиет «рекурренттік формулалар» санына жатады. Егер n=6 деп алсақ, онда . Бұл қасиетті Паскаль үшбұрышы деп аталатын сандық таблица түрінде жазуға да болады. Оның төбесі және бүйір қабырғалары 1 санынан тұрады. Ал басқа кез-келген жолдың элементтері алдыңғы жолдың сол және оң жағында тұрған сандардың қосындысына тең болып, олардың арасына жазылады.
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Сонымен n=6 үшін (6 жол) және m=3 , яғни 15=5+10.
Паскаль үшбұрышындағы сандар биномдық коэффиценттер деп аталады. Бұл коэффициенттер Ньютон биномының коэффи-центтеріне тең.
(а+в)n = an b0 + an-1 b1 + an-2 b2 +…+ a1 bn-1 + a0 bn
2-мысал. (а+в)9 өрнегін Ньютон биномының формуласын пайдаланып жаз.
Шешуі: (а+в)9 = а9 в0 + а8 в1 + а7 в2 + а6 в3 + а5 в4 +
а4 в5 + а3 в6 + а2 в7 + а1 в8 + а0 в9
Мұнда Паскаль үшбұрышындағы 9-шы жолдың коэффиценттері қолданылады.
Сонымен (а+в)9 =а9 + 9а8в1 +36 а7в2 + 84 а6в3 + 126 а5в4 + 126 а4в5 +
84 а3в6 + 36 а2в7 + 9 а1в8 + в9.
Қайталанбалы терулер.
Анықтама. п элементтерден тұратын жиыннан к элементтер көлеміндегі таңдама өзінің көлемі бойынша емес, құрамы бойынша өзгешеленетін (кем дегенде бір элементімен) таңдаманы қайталанбалы терулер деп атайды.
Мұндай қайталанбалы терулер саны символымен белгіленеді және төмендегі формуламен есептеледі.
(7)
1-мысал. Гүлдер сататын дүкенде үш түрлі гүл бар. Әрқайсысында 5 гүлден болатын әр түрлі неше гүл шоғын алуға болады?
Шешуі. Гүл шоғындағы бір сортты гүлдердің түрлері қайта-ланып,гүлдердің орналасу реті ескерілмейтіндіктен, біз қайталанбалы терулер формуласын пайдаланамыз. Қарастырылып отырған жиын 3 элементтен тұрады, ал таңдама (гүл шоғы) 5 элементтен тұрады, яғни гүлдер шоғының саны – 3 элементтен 5-тен алынған терулер саны , яғни n=3, k=5 болады, (7) формула бойынша
әртүрлі гүлдер шоғын алуға болады.
Пайдаланылған əдебиеттер
Негізгі:
Керимбаева К.З., Математикалық талдау-1, Оқу құралы. Шымкент-2019
Х.И.Ибрашев пен Ш.Т.Еркеғұлов, Математикалық анализ курсы. Алматы.2014, IІ-том.-том
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни).— М., 2014.
Керимбаева Г.З., Жунусбеков Ж.С. Математикалық талдау, Оқу құралы – Шымкент, 2015, 80 бет
Юнусов А.А. Конспект лекции по математическому анализу часть-1 Шымкент 2014.,120 стр.
Абдрахманов Ж.Н. Математикалық талдау, Оқу құралы-Шымкент, 2018
Қосымша:
Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 1. учебник и практикум для академического бакалавриата / 2016. — 282 c.
Баврин, И.И. Математический анализ 2-е изд., испр. и доп. учебник и практикум для спо / 2016. — 327 c.
Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. Часть 2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / 2012. — 256 c.
Ильин, В.А. Математический анализ ч. 2 3-е изд. учебник для бакалавров / 2016. — 357 c.
Кытманов, А.М. Математический анализ. учебное пособие для бакалавров / 2016. — 607 c.
Достарыңызбен бөлісу: |
