База данных вопросов для вступительного экзамена по математике кимэп

Раздел 3. Общие свойства функций

Вопросы

3.1. Найти область значений функции .

3.2. Найти область значений функции .

3.3. Найти область значений функции .

3.4. Найти область значений функции .

3.5. Найти область значений функции .

3.6. Найти область значений функции .

3.7. Найти наибольшее значение функции .

1. 
   1
   
2. 
   
   
3. 
   2
   
4. 
   4
   
5. 
   5
   

3.8. Каково наибольшее , при котором функция не имеет значений, больших 3?

1. 
   -3
   
2. 
   -1
   
3. 
   0
   
4. 
   1
   
5. 
   2
   

3.9. Чему равно наименьшее значение функции на отрезке ?

1. 
   4
   
2. 
   
   
3. 
   3
   
4. 
   1
   
5. 
   0
   

3.10. Найти наибольшее значение функции .

1. 
   1
   
2. 
   3
   
3. 
   
   

4. 
   
   
5. 
   2
   

1. 
   Корней нет
   

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17

3.19.

3.20.

Правильные ответы

Решения

3.2. Найдем область определения функции , где . Имеем , , . В этом интервале функция имеет наибольшее значение и . Значит, областью значений функции является интервал .

3.3. Найдем область определения функции . Имеем , , . В этом интервале функция имеет наибольшее значение и наименьшее значение . Так как , то областью значений функции является интервал .

3.4. Найдем область определения функции , где . Имеем , , . В этом интервале функция имеет наибольшее значение и наименьшее значение . Значит, областью значений функции является интервал .

3.5. Найдем область определения функции , где . Имеем , , . В этом интервале функция имеет наибольшее значение и . Значит, областью значений функции является интервал .

3.6. Найдем область определения функции . Имеем , , . В этом интервале функция имеет наибольшее значение и наименьшее значение .

3.7. Имеем . Найдем область определения функции , где . Имеем , , . Для имеем . В этом интервале функция имеет наибольшее значение . Значит, наибольшее значение функции равно .

3.8. Имеем . Функция (где ) имеет наибольшее по абсолютной величине значение . Ответ: .

3.9. На интервале функции и достигают наименьшего значения в точке . Значит, наименьшее значение функции на указанном интервале равно .

3.10. Рассмотрим функцию . При имеем , поэтому наименьшим значением функции является . Следовательно, наибольшее значение функции (где ) равно .

3.11. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Абсциссы точек пересечения двух графиков – корни уравнения. Очевидно их два: один положительный, другой отрицательный.

3.12. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Абсцисса точки пересечения двух графиков – корень уравнения. Очевидно, уравнение имеет один положительный корень.

3.13. В одной системе координат нарисуем графики функций и . График функции лежит в полосе . График функции лежит в полуплоскости Таким образом точек пересечения у этих двух графиков нет. Поэтому данное уравнение решений не имеет.

3.14. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют одну точку пересечения, абсцисса которой - - положительна. Таким образом, уравнение имеет один положительный корень.

3.15. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют две точки пересечения, их абсциссы – корни уравнения. Таким образом, уравнение имеет два корня, один корень, очевидно, положительный, другой – отрицательный.

3.16. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют две точки пересечения, их абсциссы – корни уравнения. Один корень положительный, другой – отрицательный.

3.17. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют одну точку пересечения. Ее абсцисса – отрицательное число – корень уравнения.

3.18. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют одну точку пересечения, ее абсцисса – корень уравнения.

3.19. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют две точки пересечения, их абсциссы – корни уравнения. Один корень положительный, другой – отрицательный.

3.20. В одной системе координат нарисуем графики функций и . Графики имеют одну точку пересечения, ее абсцисса – корень уравнения.