Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі «Дарын» республикалық ғылыми-практикалық орталығы

131 
 
Білім  –  болашақ  ел  жетістігінің  іргелі  факторы.  Оны  дәлелдеу  үшін 
бірнеше  жолдарын  көрсетуге  болады.  Мысалы  көптеген  олимпиадалық 
есептерді шығару жолдарының шешімін оңтайлы ете аламыз. 
Теңсіздіктерді анықтама бойынша дәлелдеу 
Мысал . 
c
b
a
c
b
a
6
12
2
14
3
4
2
2






 теңсіздігін дәлелдейік. 
 Дәлелдеуі. 







)
6
12
2
(
)
14
3
4
(
2
2
c
b
a
c
b
a
 
              
1
)
1
(
3
)
3
2
(
)
1
(
1
)
3
6
3
(
)
9
12
4
(
)
1
2
(
2
2
2
2
2
2
















c
b
a
c
c
b
b
a
a
 
Соңғы  кезде 
c
b
a ,
,
  сандарының  кез-келген  мәнінде  оң  болады.  Теңсіздік 
дәлелденді. 
Коши – Буняковский теңсіздігі 
Мысал . Дәлелдеу керек а²+b²+с²≥14, егер а+2b+3с≥14 
Дәлелдеуі: 
n
n
b
b
b
а
а
а
,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
  сандар  үшін  жалпы  теңсіздік  Коши-
Буняковский 
теңсіздігі 
деп 
аталады. 
Бұл 
теңсіздік 
)
...
)(
...
(
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
n
n
b
b
b
а
а
а





≥
.
)
...
(
2
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
b
a



 Бұдан 
(а²+b²+с²)(1²+2²+3²)≥(а+2b+3с)²≥14²,бұдан а²+b²+с²≥14. 
Мысал. Дәлелдеу керек 
)
(
)
(
)
(
a
c
b
c
c
b
a
b
b
c
a
а








≤
)
)(
(
2
2
2
c
b
a
c
b
a




, бұл жерде a, b, c -кез келген үшбұрыштың 
қабырғалары. 
Дәлелдеуі:

 

























a
c
b
a
c
b
с
c
b
a
c
b
a
b
b
c
a
b
c
a
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
c
a
a
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
 
)
(
)
(
)
(
*
))
(
)
(
)
(
(
a
c
b
c
b
a
b
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
c
a
a
















=
)
)(
(
2
2
2
c
b
a
c
b
a




. 
Кері жору әдісімен дәлелдеу 
Мысал.  Кез келген а саны үшін теңсіздік орындалатындығын көрсетейік 
2
1
2
2
2



a
a
. 
Дәлелдеу:    Кері  жорып,  қандайда  бір  а  саны  үшін  қарастырылып 
жатқан теңсіздік дұрыс емес, яғни теңсіздіктің түрі келесі түрде болады: 

132 
 
2
1
2
2
2



a
a
. Бесінші қасиет бойынша теңсіздіктің екі жағында 
1
2

a
 оң 
санына көбейтеміз, бұдан теңсіздік таңбасы өзгермейді: 
1
*
2
2
2
2



a
a
. 
Екінші  қасиет  бойынша  теңсіздіктің  екі  жағынан  да 
1
2
2

a
 
азайтамыз. Сол  жағын түрлендіргеннен кейін келесіні аламыз: 




0
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2













a
a
a
a
a
, 


0
1
1
1
2
2




a
. 
Соңғы теңсіздік а-ның кез-келген мәнінде орындалмайды, теңсіздіктің 
сол  жағы  теріс  мәнге  ие  болмайды,  алынған  қарама-қайшылық  берілген 
теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдейді.  
Теңсіздіктерді тірек-теңсіздіктер тәсілімен дәлелдеу 
Мысал . 
0
,
0
,
0



c
b
a
 болса, келесі теңсіздікті дәлелдеу керек: 
       


.
9
1
1
1











c
b
a
c
b
a
 
Шешуі: Тірек ретінде келесі теңсіздіктерді алайық: 
              
2
&
2
,
2






b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
 
Үш теңсіздікті қосайық: 
               


9
1
1
1
9
9
1
1
1
6
6




























































c
b
a
c
b
a
c
c
b
a
a
c
b
a
b
c
b
a
c
b
a
a
c
b
b
c
a
c
b
a
b
c
a
a
c
b
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
 
Теңсіздік дәлелденді. 
Теңсіздіктерді жуықтап бағалау тәсілімен дәлелдеу 
Мысал .  Дәлелдеу керек : a
2
(1+b
4
) +  b
2
(1+a
4
) ≤  (1+a
4
)(1+b
4
).