Сызықтық тәуелсіз функциялар. Вронский анықтаушы

жүктеу 46,5 Kb.

Дата	17.01.2022
өлшемі	46,5 Kb.
	#32984

Вронский анықтаушы.

Вронский анықтауышы

Сызықтық тәуелсіз функциялар. Вронский анықтаушы.

y₁(x),y₂(x),...,y_n(x) (a,b) интервалында аңықталған ақырлы n функция берілсін.

y₁(x),y₂(x),...,y_n(x) функциялары (а,b) интервалында сызықты тәуелді деп аталады, егер бәрі нөлге тең емес α₁, α₂,..., α_n сандары бар болып, осы интервалдағы барлық x мәндері үшін мына теңдік дұрыс болса

α₁•у₁(х)+α₂•у₂(х)+... +α_т•у(х)=0

Егер бұл теңдік α₁ =α₂=...= α_n =0 болғанда ғана орындалса, онда y₁(x),y₂(x),...,y_n(x) функциялары (а,b) иртервалында сызықты тәүелсіз деп аталады.

y₁(x),y₂(x),...,y_n(x) n -функциялары (n-1)-ретке дейін туындылары бар болсын.

Мына анықтауыш

осы функциялар жүйесі Вронский анықтауышы деп аталады.

Теорема 1. (сызықты тәуелділіктің қажетті шарты).

Егер функциялары (a,b) аралығында (n-1) рет дифференциалданатын сызықты тәуелді функциялары болса, онда осы функциялардан құрылған Вронский анықтауышы нольге тепе-тең болады, яғни, , .

Теорема 2. Егер берілген n функция үшін құрылған Вронский анықтауышы кейбір (a,b) интервалында тепе-тең нөльге тең болмаса, онда осы интервалда берілген функциялар сызықты тәуелсіз болады.

Теорема 3. (шешімдердің сызықты тәуелсіздігінің қажетті шарты).

(a,b) интервалында сызықты тәуелсіз функциялар , коэффициенттері (a,b) интервалында үзіліссіз болатын

(4.4)

сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің шешімдері болса, онда осы функциялар системасының Вронский анықтауышы

(a,b) интервалының ешбір нүктесінде нольге айнала алмайды.

Теорема 4. (a,b) аралығында коэффициенттері үзіліссіз болатын (4.4) сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімдері , (a,b) интервалында сызықты тәуелсіз болу үшін шешімдердің системасының вронскианы нольден өзгеше болуы қажетті және жеткілікті.

1-Мысал.

2-Мысал:

жүктеу 46,5 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: