Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

277
ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолдандық. Бұл 
есеп қарама-қарсы оқиға ықтималдығы жөніндегі теореманы 
қолданған күнде əлдеқайда жеңіл шешілетінін байқауға болады. 
Расында
( )
1
( )
1
(
)
1
( )
( )
A
p C
p C
p A B
p A
p B
= −
= −
⋅
= −
⋅
=
5
4
1
0,977.
30 29
= −
⋅
≈
§8. Оқиғалардың тəуелсіздігі
(
)
( )
( )
p AB
p A
p B
=
⋅
 шартын қанағаттандыратын 
А
 жəне 
В
 
кездейсоқ оқиғаларын 
тəуелсіз оқиғалар
 дейді. Тəуелсіз 
оқиғалар үшін (9.11) теңдігінен 
)
(
)
(
B
p
B
p
A
=
 теңдігі туындайды. 
Кері пікір де орынды. Оқиғалардың тəуелсіздігі - 
А
 оқиғасының 
пайда болуы 
В
 оқиғасының пайда болу ықтималдығына əсер 
етпейтінін білдіреді, атап айтқанда шартты ықтималдық шартсыз 
ықтималдыққа тең. 
5-мысал
. 
Жəшіктегі 
N
 шардың ішінде ақ шар саны 
n 
болсын. 
Сынауда жəшіктен алынған шар қайта жəшікке салынады 
(қайтарымды таңдама). 
А
 - бірінші алынған шар ақ, 
В
 - бірінші алынған шар қара, 
С
 - екінші алынған шар ақ – оқиғалары болса, онда
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
N
n
C
p
N
n
C
p
N
n
N
B
p
N
n
A
p
B
A
=
=
−
=
=
(
)
( )
( )
( )
( );
A
n
n
p AC
p A
p C
p A
p C
N N
=
⋅
=
⋅
=
⋅
атап айтқанда, бұл жағдайда 
A
 жəне 
C
 оқиғалары тəуелсіз.
6-мысал
. 
70 жыл шамасындағы егде адамның алдағы жылда 
өлмей қалуының ықтималдығы -
 
0,91
. 
Сақтандырушы компания 
осы жастағы екі адам өмірін бір жылға сақтандыруды рəсімдейді. 
Сонда олардың бірде-біреуі өлмеуінің ықтималдығы
0,91·0,91 = 0,8281.
Екеуінің де өліп кету ықтималдығы
(1 – 0,91)·(1 – 0,91) = 0,09·0,09 = 0,0081.

278
Ең болмаса, біреуінің өліп кету ықтималдығы
1 – 0,91·0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.
Бір адамның өліп кету ықтималдығы
0,91 · 0,09 + 0,09 · 0,91 = 0,1638.
9.2-анықтама
: 
1
2
1
2
(
...
)
(
)
(
) ...
(
)
n
n
p A A
A
p A
p A
p A
=
⋅
⋅ ⋅
 теңдігін 
қанағаттандыратын 
1
2
,
,...,
n
A A
A
 оқиғалар жүйесін 
тобымен
 
тəуелсіз оқиғалар жүйесі
 дейді.
7-мысал
. Сейф шифры 7 цифрдан (жеті орынды саннан) 
тұрады. Тонаушының бірден оны дəл теріп, сейфті ашу ықти-
малдығы қандай?
(
Жауабы: р 
= (1/10)
7
).
8-мысал
. Сейф шифры 33 əріп жəне 3 цифрды қамтиды. 
Тонаушы бірден шифрды дəл теріп, сейфті ашу ықтималдығы 
неге тең? 
(
Жауабы: р 
= (1/33)·(1/10)
3
).
§9. Толық ықтималдық формуласы
і
 ≠ 
j
 болғанда
 
∅
=
∩
=
Ω
=
j
i
n
i
i
H
H
H
∪
1
,
 
(
i, j
 = 1, 2, ... , 
n
) шарттарын
қанағаттандыратын 
Н
1
, 
Н
2
, ..., 
Н
n
 оқиғалар жиынтығын 
оқиғалар-
дың толық тобы
 
дейді. Бұл оқиғалардың ықтималдықтары
Р
(
H
1
), 
Р
(
H
2
), ..., 
Р
(
Н
n
) мəндеріне тең болып, бізді қызықтыратын 
А
 оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп орындалады 
деп ұйғарайық. Оның үстіне 
А
-ның шартты ықтималдықтары 
болып келетін 
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
A
P
A
P
A
P
n
H
H
H
 сандары белгілі болсын. 
Онда 
А
 оқиғасының ықтималдығы 
толық ықтималдық 
формуласы
 атанған 
1
( )
(
)
( )
i
n
i
H
i
P A
P H P
A
=
=
∑
формуласымен анықталады.
Дəлелдеме
 гипотеза – болжамдар деп аталатын 
Н
і
 
оқиға-
ларының қос-қостан алғандағы үйлесімсіз (олай болса 
Н
і 
А
 да 

279
үйлесіміз) болуымен бірге олардың қосындысы ақиқат оқиға 
екендігінен тікелей туындайды. 
1-мысал
. Қалыптағы қорытпаның 70% 1-цехтан, 30% 
2-цехтан жөнелтіледі. Оның үстіне 1-цехтің 10% өнімі жарамсыз 
болса, 2-цехтің 20% өнімі жарамсыз. Тəуекелге бел байлап, 
алынған қалыптағы қорытпа жарамсыз екендігінің ықтимал-
дығы  қандай?
Шешімі
: 
Р
(
H
1
) = 0,7, 
Р
(
H
2
) = 0,3, 
2
,
0
)
(
;
1
,
0
)
(
2
1
=
=
A
P
A
P
H
H
 
болғандықтан, 
Р
 = 0,7 · 0,1 + 0,3 · 0,2 = 0,13
(орта есеппен цехтағы қорытпаның 13%-ы жарамсыз). 
Осы кескінде жалпы жағдайдағы есептер де шешіледі.
2-мысал
.
 Алдыңғы тармақтағы 5-мысалға қайта оралайық.
N
 шар арасында ақ түсті шар саны 
n
-ға тең. Бір-бірден жəшіктен 
(қайтарылмай) екі шар алынады. Екінші шардың ақ түсті 
болуының ықтималдығы қандай?
Шешімі
.
 
Н
1 
- бірінші
 
алынған шар – ақ: 
Р
(
H
1
) = 
n/N
; 
 
 
Н
2 
- бірінші алынған шар – қара: 
Р
(
Н
2
) =
 
(
N - n
)
/N
; 
  
А 
- екінші алынған шар – ақ: 
1
)
(
;
1
1
)
(
2
1
−
=
−
−
=
N
n
A
P
N
n
A
P
H
H
болғандықтан,
1
2
1
2
( )
(
)
( )
(
)
( )
H
H
P A
P H P
A
P H P
A
=
+
=
1
1
1
n
n
N
n
n
n
N N
N
N
N
−
−
=
⋅
+
⋅
=
⋅
−
−
Осы нұсқаны мына бір есепті шығарғанда да қолдануға 
болады. Студент 
N
 билеттің 
n
 билетіне жауап беруге дайын. Оған 
бірінші болып билет алған, əлде екінші болып билет алған ұтымды 
ма? Қайткен күнде де ол 
n/N
 ықтималдығымен сəтті билетті жəне 
(
N - n
)
/N
 ықтималдығымен сəтсіз билетті иемденеді.

280
3-мысал
. 
А
 мекен-жайынан шыққан жолаушы, жолдар 
тоғысатын жерде (кері жүрістен өзге) кез келген жолды кездейсоқ 
таңдайтын болса, оның 
В
 мекен-жайына жету ықтималдығы 
қандай болмақ? Жол торабы 40-суретте кескінделген. 
40-сурет
  Шешімі
.
 Жолаушының 
Н
1
, 
Н
2
, 
Н
3 
жəне 
Н
4
 мекенжайларына 
келуі - сəйкес гипотеза болжамдар болсын. Олар оқиғалардың 
толық тобын құрап, есеп шарты бойынша
Р
(
H
1
) = 
Р
(
H
2
) =
 Р
(
H
3
) = 
Р
(
H
4
) = 0,25, 
өйткені 
А
-дан бет алған бағыттардың барлығы жолаушымыз үшін 
тең мүмкіндікті. Жол торабының ирегіне сəйкес, жолаушының
Н
і
-ден өтуінде 
В-
ға жетуінің шартты ықтималдықтары төмен-
дегідей: 
1
2
3
4
1
1
0
1
2
3
=
=
=
=
H
H
H
H
P B
P
B
P B
P
B
( )
,
( )
,
( )
,
( )
мəндеріне ие болады.
Толық ықтималдықтың формуласы бойынша 
1
1 1
1
1 1
11
0
1
4
4 2
4
4 3
24
1
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
∑
=
i
i
H
n
P B
P H P B
i
( )
(
)
( )
нəтижесіне келеміз.

281

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: