298
тығыздығы
(сол сияқты
ықтималдықтың үлестіру тығыздығы
)
деп аталатын оның
( )
( )
dF x
f x
dx
=
туындысымен беруге болады.
Туынды анықталмайтын нүктелерде
f
(
x
)
=
0
деп санаймыз.
F
(
x
)
функциясының монотондылығына байланысты
f
(
x
)
≥
0
,
атап
айтқанда тығыздық əр жерде теріс емес.
F
(
x
)
-
ті біле отырып, ықтималдық тығыздығын
f
(
x
)
=F
/
(
x
)
формуласы бойынша табамыз, ал
f
(
x
)
-
ті біле отырып, үлестіру
функциясын
F
(
x
)
=
∫
∞
−
x
f(t)dt
интегралын есептеу арқылы табамыз.
Үзіліссіз
ξ
кездейсоқ шамасының (
а, b
) аралығынан мəндер
қабылдау ықтималдығы осы интервалдағы
F
(
x
) функциясының
өсімшесіне тең, яғни
P
(
ξ
)
=F
(
b
)
–F
(
ξ
)
=
( )
.
b
a
f x dx
∫
(10.3)
Мына бір жəйттерді есте ұстаған жөн:
1)
f
(
x
)
ықтималдық тығыздығы
ξ
-дің (
x, x+∆x
)
интервалынан
мəн қабылдау ықтималдығын осы интервалдың
∆x
ұзындығына
бөлгенге тең, атап айтқанда
P
x
∆
∆
қатынасы болып келеді, мұнда
∆x→
0.
2)
f
(
x
) графигі мен
Oх
осі арасындағы
аудан
1-ге тең:
( )
( )
1.
f x dx F
∞
−∞
=
∞ =
∫
(10.4)
Осы жазылған формула - үзіліссіз үлестіру үшін жазылған
(10.1)
формуласының аналогы. Үзіліссіз үлестіру мысалы ретінде
(
)
2
2
2
1
( )
2
x a
f x
å
σ
πσ
−
−
=
тығыздығы бар жəне нормаль үлестерім деп
аталған үлестерімді қарастырамыз.
§2.
Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары
Бірқатар жағдайда кездейсоқ шаманың кейбір сипаттамаларын
қолданады. Олардың ішіндегі маңыздыларына математикалық
күтім мен дисперсия жатады.
10.1
-
анықтама
.
Дискретті
ξ кездейсоқ шамасының
мате-
матикалық күтімі
деп оның барлық мүмкін мəндерінің олар-
дың сəйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосын дысын
айтамыз:
299
1
( )
n
i
i
i
M
a
x p
ξ
=
= =
∑
(10.5)
Айта кету керек, кездейсоқ шаманың математикалық күтімі кейбір
сан болып келеді, ол - тұрақты, кездейсоқ емес шама.
Мысал
. Кездейсоқ шаманың үлестіру заңы
ξ
0
1
2
p
0,08
0,44
0,48
кестесімен берілген. Оның математикалық күтімін табу керек.
Шешімі анықтама бойынша
M
(
ξ
)
=
0 · 0,08 + 1 · 0,44 + 2 · 0,48 = 1,4.
Жаңа ұғымды түсіну үшін механикалық аналогияға
жүгінуге болады. Кездейсоқ шаманың мүмкін мəндерін осьтегі
нүктелердің координаталары, ал оларға сəйкес ықтималдықтарды
кейбір ықтималдықты массалар ретінде ұғынсақ, математикалық
күтім массалар центрінің аналогы болатынын, атап айтқанда
айналасында кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мəндері
шоғырланған «орта», центрлі мəн болып келетінін байқауымызға
болады.
Мысал.
Американдық статистика мəліметтеріне қарағанда,
25 жастағы адамның тағы бір жыл өмір сүру ықтималдығы
0,992-ге, демек өліп қалу ықтималдығы 0,008-ге тең. Сақтандыру
компаниясы мұндай адамға алдағы 1 жылға 1000 доллар көлемінде
өз өміріне сақтандыру рəсімін ұсынады. Сақтандыру жарлығы
10 доллар болса, компания табысының математикалық күтімі
қандай болмақ?
Шешімі.
Табыс көлемі, сақтандырылатын адам өлмеген күнде
+10 доллар мəні бар, ал өліп кеткен жағдайда -990 доллар мəні
бар кездейсоқ шама болып келеді. Ықтималдықтардың үлестіру
кестесін құрайық:
ξ
+10
-990
р
0,992
0,008
M
(
ξ
)
=
10 · 0,992 – 990 · 0,008 = 2.
Күтілетін орташа табыстың оң болуы - компанияға өз ісін
жалғастыра беруіне, сақтандыру төлемдерін жүргізу үшін капитал
300
жинақтауға, əкімшілікке қажет шығын жұмсауына мүмкіндік
береді.
Казинодағы рулетка ойыны
. Рулетка дөңгелегінде бірдей
орналасқан 38 ұяшық бар, олар 00, 0, 1, 2, …, 35, 36 түріндегідей
нөмірленген. Ойыншы қалаған нөміріне 1 доллар тігеді. Егер
оның нөмірі ұтқан болса, ойыншы 36 доллар олжалы болады
(ұтысы 35 доллар +1 доллар – ставка - ойынға тігу мөлшері).
Ойыншы ұтысының математикалық күтілімін табу керек.
Шешімі
.
Ықтималдықтар кестесін құрамыз:
х
–1
+35
р
37/38
1/38
M
(
х
)
=
– 37/38+35/38 = –1/19
.
Бұдан ойынның «əділ» болмауын көреміз. Сақтандыру
«компаниясындай» казино төтенше шығын мен тəуекелге бой
ұрады .
Мысал
.
Үй үшін енгізілген сақтандыру жарнасы - 200 ш.б.
Мұндай үйдің берілген аймақта өртке шалдығу ықтималдығы
0,01-ге тең. Үйдің өртеніп кету жағдайында сақтандыру
компаниясы үй үшін 10000 ш.б. төлеуі міндетті.
Компания орта есеппен алғанда қандай пайда табуды көздейді?
10000 шартты бірлігі бар сақтандыру төлеміне, 100 ш.б. айлық
жарна алып отырған компания қандай пайда табуды көздейді?
200 шартты бірлігіне тең жарнаға сəйкес күтілетін орташа
пайда
M
(
х
) = – 9800 · 0,01+200 · 0,99= – 98+198 = 100.
100 шартты бірлігіне тең сақтандыру жарнасына сəйкес күтілетін
орта пайда
M
(
х
) = – 9900 · 0,01+100 · 0,99 = – 99 + 99 = 0.
Компанияның мұндай жұмысын əділ деп бағалауға болар еді,
бірақ оның пайдасы болмауы түгіл, əкімшіліктік керек-жараққа
қаражаты болмас еді.
Əдетте небір күрделі кездейсоқ шамалардың математикалық
күтілімін есептеуге тура келеді. Мəселен, сақтандыру есептеулері
бір жылдың емес, көп жылдың құжаттары бойынша жүргізілуі
мүмкін, онымен қоса жыл сайын салымнан түсетін пайда жəне
т.б. жайттар ескерілуі керек. Мұндайда осы сипаттаманың
қасиеттерін білген іске көп септігін тигізеді.
301
Достарыңызбен бөлісу: |
