Лабораториялық жұмыс №6 Тақырыбы: Қарапайым дифференциальдық теңдеулерге қойылатын Коши есебін шешудің сандық әдістері. Эйлер әдісі. Теориялық материал

М.Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан университеті

Зертханалық жұмыс

Тақырыбы: Қарапайым дифференциальдық теңдеулерге қойылатын Коши есебін шешудің сандық әдістері. Эйлер әдісі.

Орындаған:Турабаев О

Тобы:ИП18-6К2

Қабылдаған: Досанова Г

Лабораториялық жұмыс №6

Тақырыбы: Қарапайым дифференциальдық теңдеулерге қойылатын Коши есебін шешудің сандық әдістері. Эйлер әдісі.

Теориялық материал
Бірінші ретті қарапайым дифференциялдық теңдеулер келесі түрде беріледі:

y′=f(x,y) (1)

Осы теңдікпен байланысқан негізгі тапсырма бізге Коши есебі деп танымал: Бастапқы

шартын қанағаттандыратын y=y(x) функциясы түрінде (1) теңдеуінің шешімін табу. (1) теңдігі орындалған кезде берілген M(x₀, y₀) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисық y(x)-ті табу керек. (1) теңдігінің шешімінің табылуы және жалғыз екендігі келесі теоремамен қаматамасыз етіледі.

[x-x₀]≤a, [y-y₀]≤b (3)

Және осы облыста шартты қанағаттандыратын Липщица y-бойынша
[f(x₁y₁)-f(x₁ y₂)] ≤M[y₁-y₂]
бұл арақашықтықта [x-x₀]≤h, мұндағы h -оң сан. (7.1)- теңдіктің y=y(x) -тің шешімі тек жалғыз y₀=y(x₀) бастапқы шартын қанағаттандыратын мұнда M - тұрақты, егер f(x,y) G-облыстарындағы туындының шегі A'y(x,y) болады, онда (x,y)€G жатады.

M=max [f'y(x,y)] (4)

Классикалық анализдерде көптеген дифференциялдық теңдеулерді жазудың әдістері бар. (қарапайым немесе күрделі).

Бұған қарамастан осы есепті шығарар кезінде осы әдістер керексіз болып қалады, немесе оларды шешімі жай уақыт кетірумен өткізеді.

Осы себепке байланысты есепті шығару үшін дифференциялдық теңдеудің жуықтап шешу әдісі қарастырылған. Шешімді өрнектеу түріне байланысты бұл әдістер 3 топқа бөлінеді:

1. 
   Аналитикалық әдіс. Бұл дифференциялдық теңдеудің шешімі аналитикалық түрде беріледі.
   
2. 
   Графикалық әдіс. Жуықтап шешудің графикалық түрде берілуі.
   
3. 
   Сандық әдіс. Алынған функция кесте түрінде беріледі. Сандық есептің қателігін дифференциялдық теңдеулерде бірінші ретті, яғни (1) формуламен және n-ші ретті дифференциялдық теңдеулер келесідегідей.
   

Коши есебі y=y(x) шешімін табумен тұрады.

Y_(x0)=y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y'₀.., y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1)

Мұндағы y₀,y₀',…y₀^(n-1) есептелетін яғни белгісіз сан. Көп жағдайларда дифференциялдық теңдеулердің системасы бірінші ретті теңдеумен шешіледі. y''=(x,y,y') Екінші ретті теңдеулер бірінші ретті теңдеулер системасында да жатады.

y'=z y'=f(x,y,z).
Біртіндеп жуықтау әдісі.

Коши есебін қарастырайық. Біртіндеп жуықтау әдісі бойынша шешімі функциясынын тізбектерінін шегі ретінде қарастырылады. Жоғарыда айтылған шарттар қанағаттандырылсын деп ұйғарсақ, келесі рекуренттік формула бойынша табылады

мұндағы h-қадам,

мұндағы –теңдеудін шешімінің дәл мәні (болғанда),

мұндағы

Бағалау қателігі

мұндағы – нүктесіндегі берілген теңдеудін шешімінін дәл мәні,

№ 9. _{, h=0.1}

4-қадам

5-қадам

10-қадам