Концентрация және проценттік құрамға арналған есептер

Массалық концентрация деп белгілі бір компоненттің барлық массаның қандай бөлігін құрайтынын көрсететін өлшемді айтамыз. Егер қоспаның (қорытындының, ерітіндінің) массасы болса және ол массалары болатын сәйкес

заттарынан тұрса, онда

өлшемдерін заттарының концентрациясы, ал

өлшемдерін заттардың пайыздық құрамы деп атайды.

<sub>Сонымен қатар төмендегі теңдік орындалады:



Есеп: Теңіз суында 5% тұз бар.Тұздың концентрациясы 4,5% болуы үшін 80 кг теңіз суына қанша мөлшерде тұщы су қосу керек?

Шешуі: Тұзды суға х кг тұщы қосу керек болсын

Тұзды – таза зат деп қарастырамыз.</sub>

Кестенің екінші бағанындағы мәліметтер бойынша теңдеу құрамыз:

Жауабы: 20 кг

Шешуі: Балқымадағы күміс мөлшері х г , ал мыс мөлшері (х-1845) г болсын. Балқыманың массасы (2х-1845) г.

Теңдеу құрып, шешеміз:

Шешуі. Бірінші ыдыстағы тұз - кг. Екінші ыдыстағы тұз - кг.

Есептің шарты бойынша: кг.

_{Бірінші ыдыстағы ерітіндінің массасын у (кг) деп белгілейік.}

Мысалы: 100 санының -

х санының -

Шешуі. Барлық адам x деп алып. пропорция құрамыз:

Олай болса жиналысқа қатыспаған адам:

Зауыт шығаратын өнім х: I жылы 5%-га артты 1,05х

Жауабы: 1,092

Шешуі. Жас саңырауқұлақтың кептірілгенінің салмағы оның ын құрайды, яғни 22 кг – нан 2,2 кг кептірілген.

Кептірілген саңырауқұлақтың таза кепкен салмағы өйткені оның ы су, яғни ізделінді сан болса, онда таза кепкен салмақ

Кепкен заттың салмағы тұрақты болғандықтан, келесі теңдеуді құрамыз:

Шешуі: Жаңа піскен жемісте 72% су болса, құрғақ заттар 28% болады.

Кепкен жемістерде құрғақ заттар -80% болады.

Күрделі процентер формуласы:

Шешуі:

Жауабы: 500 000 тг.

Қорыта келгенде, математиканы оқыту үрдісінде мектеп оқушыларына білім берудің мақсаты осы заманға тіршілік құрылымын танудан, ондағы өз орнын сезінуден, экономикалық мәдениеттің ережелерін меңгеруден, тиісті іс-әрекет дағдыларын ұштаудан құралады демекпіз.

Жиі кездесетін тақырыптар бойынша типтік есептер қарастырып, оларды шығару ерекшеліктерін көрсетелік.

1. Моторлы қайық ағыс бағытымен 20 км жүзіп А қаласынан В қаласына барып,ол жерде кідірмей кері қайтты. Барлық жолға 5сағат уақыт жіберді. Қайықтың меншікті жылдамдығын анықтаңдар.

Шешуі. Белгілеу енгізелік

км/сағ – қайықтың меншікті жылдамдығы, км/сағ - өзен ағысының жылдамдығы.Сонда есептің шарттарын пайдаланып

теңдеуін аламыз. Алайда бір теңдеуден екі белгісіз табылмайтындығы белгілі. Осыдан есептің шарттары толық еместігін көреміз.

2. Үш жұмысшылар бригадасы бір күнде 96 деталь жасап шығарды. Бірінші бригада, екіншіге қарағанда, 18 деталь артық дайындады, ал үшінші бригада бірінші және екінші бригада шығарған детальдардың 5/11 бөлігіне тең детальдар дайындады. Әрбір бригада қанша деталь дайындап шығарды?

Шешуі. Айталық - бірінші бригада дайындаған детальдар саны. Сонда

Осыдан есептің шарты бойынша мына теңдеуді аламыз:

Теңдеуді шешкенде болады, яғни бірінші бригада 42 деталь дайындаған. Демек, екінші бригада

деталь дайындаған, ал үшінші бригада

деталь дайындаған.

3. Екі шкафқа кітаптар салынған. Егер екінші шкафтан 7 кітап алып бірінші шкафқа салса, онда екінші шкафтағы қалған кітаптар саны бірінші шкафтағы кітаптар санынан 1,4 есе көп болады. Егерде бірінші шкафтан 53 кітап, ал екінші шкафтан 67 кітап алынса, ондабірінщі шкафтағы қалған кітаптар санының екінші шкафтағы қалған кітаптар санына қатынасы 3:5 қатынасындай болады. Әрбір шкафта қанша кітап бар еді?

Шешуі. Айталық және - сәйкес бірінші және екінші шкафтағы кітап саны. Екінші шкафтан 7 кітап алып, бірінші шкафқа салғаннан кейін бірінші шкафта кітап, ал екінші шкафта кітап болды. Есептің шарты бойынша мына теңдеуді құрамыз:

Енді бірінші шкафтан 53 кітап алғаннан соң, ал екіншісінен 67 кітап алған соң бұл шкафтарда сәйкес және кітаптар қалды. Есептің шартын ескеріп мына теңдеуді құрамыз:

Сонымен, қорытындысында екі белгісізі бар екі теңдеу алдық:

Осыдан , , яғни алғашында бірінші шкафта 143, ал екінші шкафта 217 кітап болған екен.

4. Мотоциклші белгілі бір қашықтықты үш күнде жүріп өтті. Ол бірінші күні екінші күн жүріп өткен жолдың 5/14 бөлігін жүрді, ал үшінші күні бірінші күні жүріп өткен жолдан 2,5 есе артық жол жүрді. Мотоциклші бірінші күні 5 кг бензин жұмсады. Сонда барлық жолға ол қанша килограмм бензин жұмсаған?

Шешуі. Айталық км – бірінші күні жүріп өткен жолы. Олай болса км оның екінші күні, ал км – үшінші күні жүріп өткен жолдары. Есептің шарты бойынша ол бірінші күні 5 кг бензин жұмсаған, сондықтан енді екінші күні кг және үшінші күні кг жұмсаған бензиннің мөлшерін анықтау үшін сәйкес төмендегі пропорция құрамыз:

Осы пропорциялардан кг, кг екенін анықтаймыз. Сонымен, мотоциклші үш күнде

бензин жұмсаған екен.

5. Бір жыл ішінде завод өнім шығаруды екі рет бірдей процентке өсірді. Егер заводтың жыл басында айына 600 бұйым, ал жыл аяғында айына 726 бұйым шығарғандығы белгілі болса, онда оның өнім шығаруын әр кез қанша процентке өсіргенін табыңдар.

Шешуі: Айталық завод жыл басында айына бұйым шығарды (есептің шарты бойынша ) және оны % - ке өсірді делік. Сонда өнімді бірінші рет өсіргеннен кейін ол айына

бұйым шығарып тұрған. Ал екінші рет тагы да % -ке өсіргенде ол айына

Бұйым шығарып тұрған. Есептің шарты бойынша , .

Осыдан

немесе

Сонымен, завод екі рет өнімін 10% -ке өсірген екен.

6. Белгісіз екі таңбалы санның оның цифрларының орындарын ауыстырып жазғаннан кейін пайда болған саннан айырымы 18 –ге тең. Ал осы санның оның цифрларының көбейтіндісіне қатынасы 2 -ке тең. Екі таңбалы санды табыңдар.

Шешуі: Белгілеу енгізелік: - бірліктерінің саны, - ондықтарының саны. Сонда белгісіз екі таңбалы сан түрінде жазылады,ал оның цифрларының орнын ауыстырып жазғанда пайда болған сан түрінде жазылады.Сондай-ақ осы санның цифрларының көбейтіндісі.Енді есептің шарттарын ескеріп мына теңдеулерді жазамыз:

Бұл шешімдердің екеуі де (*) жүйені қанағаттандырады. Алайда, белгілеуіміз бойынша және сәйкес бірліктердің және ондықтардың саны болғандықтан олар оң бүтін сандар болуы керек. Сондықтан бірінші шешім есептің шартын қанағаттандырмайды. Демек, теңдеу құруға арналған есептер шығарғанда, алынған шешімдердің есептің шарттарына сәйкес болатындығын қадағалау қажеттігі туындайды. Сөйтіп бір ғана шешім , болады, яғни іздеп отырған екі таңбалы сан 64 екен.

7. Екі жұмысшы, оның екіншісі, біріншісіне қарағанда, 1,5 күн кейін бастап, белгілі бір жұмысты 7 күнде бітірді. Егер осы жұмысты олар жеке істеген болса, оның біріншісіне, екіншісіне қарағанда, 3 күн артық қажет болар еді. Олардың әрқайсысы осы жұмысты жеке істеп неше күнде бітірер еді?

Шешуі: Есептің шартында жұмыстың түрі, оның көлемі жөнінде ешқандай дерек жоқ. Олай болса бұл кез келген жұмыс болуы мүмкін және оның көлемі де әр түрлі болуы мүмкін. Сондықтан мұндай жағдайда жұмыстың көлемін 1-ге тең алады. Айталық бірінші жұмысшы жеке істегенде жұмысты күнде бітірді делік, сонда екінші жұмысшы жеке істеп осы жұмысты күнде бітірер еді. Олай болса және олардың сәйкес жұмыс өнімділіктері болады. Бұл жерде , екені анық, себебі және күн саны, олар оң болуға тиіс. Осы теңсіздіктерден екенін көреміз. Енді екінші жұмысшының жұмысты 1,5 күн кейін бастағанын ескеріп, теңдеу құралық:

Теңдеуді шешіп және екі түбір аламыз.Алдында ескерткеніміздей , олай болса . Сөйтіп жұмысты жеке істесе бірінші жұмысшы 14 күнде, ал екінші жұмысшы 11 күнде бітірер еді.

8. Екі труба бірігіп істеп бакті 1 сағат 20 минутта толтырды. Егер бірінші трубаны 10 минутқа, ал екіншісін 12 минутқа ашса, онда бактің бөлігі толтырылады. Әрбір труба жеке істеп бакті қанша сағатта толтырар еді?

Шешуі: Есептің шартында бактің көлемі жөнінде дерек жоқ. Сондықтан оның көлемін 1-ге тең деп аламыз.

Шығарудың 1- жолы. Белгілеу енгізелік. және сәйкес бірінші және екінші трубалар жеке істегенде бакті толтыруға жұмсалатын уақыттар. Сонда және сәйкес олардың жұмыс өнімділіктері болады.

(1)

Бұл жүйені , арқылы шешуге болады.

Шығарудың 2-жолы. және арқылы сәйкес бірінші және екінші трубалардың жұмыс өнімділіктерін белгілейік. Сонда және сәйкес олардың жеке істегенде бакті толтыруға жұмсалатын уақыттары. Есептің шарттары бойынша мына теңдеулерді аламыз:

(2)

Соңғы жүйені шешіп сағ, сағ аламыз. Байқап отырғанымыздай (2) жүйенің түрі (1) жүйеге қарағанда қарапайым. Бұл есептің екі шығару жолын келтіріп отырғанымыздың себебі мынада:

Теңдеу құруға арналған есептерді шығарғанда белгісіз ретінде есептің сұрауында келтірілген шаманы алу міндет емес екеніне көңіл аударамыз. Белгісіз енгізуге қойылатын негізгі талап, ол алынған теңдеулердің мейлінше қарапайым болып шыққандығында.

9. станциясынан станциясына қарай шыққан пойыз, жолды қар басып қалуына байланысты, 450 км жүргеннен кейін тоқтады. Бұл жүріп өткен жол -дан -ға дейінгі қашықтықтың 75% -ті болатын. Жарты сағаттан кейін жол тазартылып, станциясына кешікпей жету үшін алғашқы жылдамдықты 15 км/сағ ұлғайтып пойыз жүріп кетті. Пойыздың алғашқы жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: Екі станция аралығын деп белгілейік.Осы қашықтықты табу үшін пропорция құралық:

Сонда пойызға әлі 600-450=150 км жол жүру керек. Енді км/сағ - пойыздың алғашқы жылдамдығы болсын. Сонда есептің шартын пайдаланып теңдеу құрамыз:

Осыдан , . Екінші түбір есептің шартын қанағаттандырмайды. Сөйтіп пойыздың алғашқы жылдамдығы 60 км/сағ.

10. Қайықтың ағысқа қарсы 22,5 км, ал ағыс бойымен 28,5 км жүзіп барлық жолға 8 сағат уақыт жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 2,5 км/сағ. Қайықтың тынық судағы жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: км/сағ арқылы қайықтың тынық судағы жылдамдығын белгілейік. Сонда км/сағ – қайықтың ағыс бойымен жүзгендегі , ал км/сағ – ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдықтары. Енді ағыс бойымен жүзгенде жұмсаған уақыт. Сонда

Екінші түбір есептің шартын қанағаттандырмайды (жылдамдық теріс болмайды). Сөйтіп қайықтың тынық судағы жылдамдығы 7 км/сағ.

11. Жаңа терілген таңқурайдың -і су болады, ал кептірілгені - . Кептірілген таңқурайдың салмағын есептеңіз, егер жаңа терілгені 36 кг болса.

Шешуі. Жаңа терілген: -і су, -і құрғақ зат.

Кептірілген: -і су, -і құрғақ зат.