Гамильтон-Якоби теңдеуінің математикалық құрылысы. Толық интегралы

29. Гамильтон-Якоби теңдеуінің математикалық құрылысы. Толық интегралы.
Гамильтон-Якоби теңдеуін жазатын болсақ,
(1) (1)
Декарт координаттар жүйесінде:
(2)
Полярлық координаттар жүйесінде:
(3)
Жалпы жағдайда бірінші ретті дербес туындылы диференциалды теңдеулердің шешімі кез-келген функцияға тәуелді болады. Мұндай шешімді жалпылама шешім немесе жалпы интеграл деп атайды. Механикада Гамильтон-Якоби теңдеуінің жалпы интегралы емес, көбіне толық интегралы негізгі рөл атқарады. Дербес туындылы диференциалды теңдеулердің толық шешімі деп қалауымызша алынған неше тәуелсіз тұрақты болса, соншама тәуелсіз айнымалысы бар болатын теңдеулердің шешімін айтады.
Гамильтон-Якоби теңдеулерінде тәуелсіз айнымалылар – уақыт пен координата болып табылады.
Гамильтон-Якоби теңдеулерінің толық интегралы:
(4)
(5)
осыны ары қарай шешіп, координатасын уақыттың функциясы ретінде және кез-келген тұрақтыларын табамыз. Импульстің уақытқа тәуелділігін теңдеуі арқылы алуға болады.
Гамильтон-Якоби теңдеуі – функциясы уақытқа тәуелсіз берілген жағдайда немесе жүйе консервативті болғанда анағұрлым қарапайымырақ болады. Әсердің уақытқа тәуелділігі былай беріледі:
(6)

30. Айнымалыларды ажырату тәсілі.
Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық интегралын табу үшін көп жағдайларда айнымалыларды ажырату тәсілі қолданылады. Тұйық механикалық жүйе үшін механикалық энергия сақталатыны белгілі жағдай
(1)

(2)
Немесе
(3)
деп алуға болады.
(1)-ге теңдеуін қойып Гамильтон-Якоби теңдеуінің стационар, яғни уақытқа тәуелсіз түрін аламыз:
(4) (4)
Сонымен
(5)
(6)
(7) немесе
(8)
(8) –ді (6) –ға қойып
(9)
және айнымалылары бойынша ажыратып жазатын болсақ
(10)

(6)Яғни стандартты түрдегі полярлық жүйедегі Гамильтон-Якоби теңдеуін айнымалыларды ажырату тәсілімен шығарамыз.

(6)
30. Айнымалыларды ажырату тәсілі.