Лекция. Навье-Стокс теңдеулерінің дәл шешімдері. Навье-Стокс теңдеулерінің стационар емес шешімдерінің жалпы топтары

Қабырғаға параллель х бағытындағы координаталардан ағыстың жылдамдық құраушылары тәуелсіз болған жағдайда Навье-Стокс теңдеулерінің дәл шешімдерін алуға болады. Осындай дәл шешімдерге стационар емес ағындар сәйкес келеді. Навье-Стокс теңдеулер жүйесі жазық ағындар үшін келесі түрде жазылады

Қабырғаның жанында тұрақты жылдамдық (сору жылдамдығы) болсын дейік. Сонда (5.27в) теңдеуі болғанда қанағаттандырылады, ал (5.27б) теңдеуінен р қысымның у-тен тәуелді еместігі шығады. Осыған байланысты

мұндағы U(t) қабырғадан алыс қашықтықтағы «сыртқы жылдамдық», ал u(y, t) анықтау үшін (5.27а) теңдеуінен келесі теңдеуді аламыз:

Кез келген сыртқы жылдамдық үшін Дж. Т. Стюарт [32] көрсеткендей

(5.28) теңдеуінің дәл шешімі бар, оның түрі

мұндағы

(5.31) теңдігін ескеріп, U(t) және u(y, t) өрнектерін (5.28) теңдеуіне қойып, белгісіз функциясын анықтау үшін, дербес туындысы бар келесі теңдеуді аламыз

шекаралық шарттары төмендегідей

(5.32) теңдеуге өлшемсіз айнымалылар енгізілген

(5.32) теңдеуінің шешімін кейбір арнайы f(Т) функциялары үшін Лаплас түрлендірулерінің көмегімен Дж. Ватсон зерттеді. Атап айтқанда U(t) сыртқы ағынның келесі типтері қарастырылған.

б) жылдамдықтың бір тұрақты мәнінен екінші тұрақты мәніне жылдамдықтың секірмелі өзгерісі;

в) жылдамдықтың бір тұрақты мәнінен екінші тұрақты мәніне жылдамдықтың сызықты түрде өсуі;

Сыртқы ағыс уақытқа байланысты тұрақты болатын дербес жағдайда, яғни егер

f(t)=0 болса (5.32) теңдеуінің қарапайым шешімі болады. Осындай шешімде (5.30) таралуына сәйкес келетін жылдамдық профильдері (14.6) шекаралық қабатты жұтып алғандағы асимптотикалық профильге көшеді.

Әдебиеттер

1. 
   [32] Stuart J. T. A solution of the Navier-Stokes and energy equations illustrating the response of skin friction and temperature of an infinite plate thermometer to fluctuations in the stream velocity. Proc. Roy. Soc. A231, 116-130 (1955).
   
2. 
   [37] Watson J. A solution of the Navier-Stokes equations illustrating the response of a laminar boundary layer to a given change in the external stream velocity. Quart. J. Mech. Appl. Math. 11, 302-325 (1958).
   
3. 
   Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя (пер. с нем.), Изд. «Наука». Москва, 1974. – 711 с.