224
шығады. Салыстырмалылық теорияның алдына қойған негiзгi мəселесi,
инерциялық санақ жүйелеріне тəуелсiз болатын шамаларды (заңдарды) табу.
Осындай шамалардың бiріне өзара əрекеттесулердің таралуының
вакуумдегi жарық жылдамдығына тең болатын универсал жылдамдық
жатады. 1-ші жəне 2-ші оқиғалардың арасындағы екіншi аса маңызды
инварианттық шама интервал болып табылады, жəне оның квадраты келесі
өрнекпен анықталады:
inv
(7.13)
мұндағы,
– оқиғалар арасындағы уақыт аралығы,
осы екі оқиға өтiп
жатқан нүктелердің арақашықтығы
(
).
Интервалдың инварианттылығына оны К-жəне К -жүйелерінде тiкелей
есептеулер арқылы көз жеткiзуге болады. (7.8) Лоренц түрлендiрулерін
пайдаланып жəне
жəне
екендігін ескере отырып
жазамыз:
1
1
.
Сонымен интервал шыныңда да инварианттық шама болып табылады.
Басқаша айтканда, «екi оқиға s интервалмен берiлген» деген тоқтам
абсолюттiк сипатта болады − ол барлық инерциялық санақ жүйелерінде де
орындалады.
Интервалдың
инварианттылығы
салыстырмалылық
теориясында аса маңызды рөл атқарады жəне көптеген мəселелердi
талдаумен шешу кезіңде өте тиiмдi құралдардың бiріне айналады.
Интервалдың түрлерi. Кеңістікті-уақыттық интервалда қандай
құраушы басым рөл атқаратын болса, кеңістiктiк пе, əлде уақытық па, соған
байланысты интервалдар кеңістік тəрізді
, уақыт тəрізді
болып екіге бөлінедi. Интервалдардың осы екі түрімен қатар оның
үшіншi түрі де бар, ол – жарық тəрізді интервал:
.
Егер екі оқиғаның арасындағы интервал кеңістiк тəрізді болса, онда екі
оқиғада бiр мезгiлде өте алатын К’− санақ жүйесін табуға болады:
0
.
Егер интервал уақыт тəрізді болса, онда екі оқиға да бiр нүктеде өте
алатын К’− санақ жүйесін табуға болады
0:
.
Keңістік тəрізді интервалдар кезіңде
, яғни ешбiр санақ
жүйесіңде оқиғалар бiр-бiріне ешқандай əсер ете алмайды, оқиғалар
225
арасындағы байланыс шектiк
с жылдамдықпен атқарылатын кезде де дəл
осындай жағдай туады.
Ал
болатын уақыт тəрізді немесе жарық тəрізді интервалдар
үшін жағдай басқаша. Демек, уақыт тəрізді немесе жарық тəрізді интервалдар
мен бөлінген оқиғалар бiр-бiрiмен себеп-салдарлы байланыста бола алады.
Жылдамдықты түрлендiру
К-жүйеде
, жазықтығында проекциялары
жəне
болатын
бөлшектер
жылдамдықпен
қозғалатын
болсын. (7.8) Лоренц
түрлендiрулерінің
көмeгiмeн
осы
жылдамдықтың 7.11-суретте
көрсетiлгендей,
жылдадықпен қозғалатын К'-жүйесіндегi
жəне
проекцияларын табайық. Ол үшін есептеуді келесі үлгімен орындайық:
d
d
d /d
d /d
,
d
d
d /d
d /d
.
(7.8) өрнегін
, пен үшін
уақыт бойынша дифференциалдап,
алынған нəтижелерді
жəне
формуларына қойып, шамалы
түрлендірулерді жасағаннан кейін келесі өрнекті жазамыз:
/
,
/
,
(7.14)
мұндағы,
/ . Осыдан бөлшектің К' жүйедегi жылдамдығы:
/
.
( 7.15)
Бұл формулалар жылдамдықтың релятuвuстiк түрлену заңын бередi.
Кіші жылдамдықтар кезіңде, яғни
мен
олар классикалық
механиканың жылдамдықтарына түрленеді:
;
немесе векторлық түрде:
Соңғы
формуланың
тек
ньютондық
жуықталуда ғанa орындалатындығына назар
аударайық;
релятивистiк
жағдайда
оның
7.14-сурет
226
мағынасы жоқ – бұл жерде жылдадықтарды қосудың мұндай қарапайым заңы
орындалмайды. Оған келесі қарапайым мысалмен-ақ көз жеткiзуге болады.
К-жүйеде
жылдамдық векторы х өciнe перпендикуляр болсын, яғни оның
проекциялары
0 жəне
0. Сонда (7.14) бойынша осы бөлшектің
жылдамдығының К’− жүйедегi проекциялары:
;
1
,
(7.16)
Бiздiң жағдайда (
X өсіне) К'-жүйесіне өткенде жылдамдықтың
проекциясы азаяды, осыдан
болатындығы анық (7. 14-
сурет).
Түрлендіру формуласын (7.14) пайдаланудың тағы бір мысалын
келтірейік.
Мысал. Ендi К-жүйеде екі бөлшектің түзу сызықтың бойымен бiрдей
жылдамдықпен
бiр-бipіне қарсы қозғалып келе жатқан жағдайын қарастырайық. Табу керек: 1)
бiр бөлшектің екінші бөлшекке қатысты салыстырмалылық жылдамдығы қандай
болады? 2) осы жүйедегі бөлшектердің жақындау жылдамдықтары қандай?
Ең алдымен осы жылдамдықтардың мағынасын анықтайық.
1. Жақындау жылдамдығы дегеніміз – осы санақ жүйесіндегі бөлшектер
арасындағы арақашықтықтың өзгеру (азаю) жылдамдығы. Біздің жағдайымыз
үшін ол
2
ге тең жəне бұл жылдамдық жарық жылдамдығынан да артық
болуы мүмкін, оның ешқандай қайшылығы жоқ.
2. Бөлшектердің салыстырмалылық жылдамдықтары
туралы түсінікке тоқталсақ, бөлшектердiң бiреуiн,
мысалы, х өсінің оң бағытында қозғaлып келе жатқан
бөлшекпен К'-санақ жүйесін байланыстырамыз (7.15-
сурет). Сонда бiздiң мақсатымыз екіншi бөлшектің
осы санақ жүйесіндегi жылдамдығын табу. (7.14)
формулаға
жылдамдықтың проекциясын
жəне
, қойып келесі өрнекті аламыз:
2
1
/
.
Минус таңбасы екі бөлшектің де -санақ жүйесіңде
өсінің теріс бағытында
қозғалатындығын көрсетедi. Екі бөлшекте максимал мүмкін
с
жылдамдықпен қозғалғанның өзіңде де
жылдамдық
жарық
жылдамдығынан артық бола алмайды (мұны тiкелей соңғы формуладан көруге
болады).
Ақыры, жылдамдықтарды түрлендiрудiң релятивистiк формулаларының
жарық жылдамдығының барлық инерциялық санақ жүйелеріңде
өзгеріссiз қалатындығын бiлдiретін Эйнштейннің екіншi постулатынa
сəйкестілiгін тiкелей тексерейiк. К-жүйесінде
векторының
ажəне
проекциялары болсын делік, сонда
. Енді (7.15) формуласын
пайдаланайық, ол үшін тек ондағы түбiр acтындaғы өpнекті келесі жолмен
түрлендiрсе болғаны:
7.15-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
