28
1.14-сурет
Егерде А нүкте К'-жүйеге қатысты v' жылдамдықпен қозғалатын болса,
онда ол dt уақыт аралығында қосымша v'dt орын ауыстыру жасайды
(1.14,а−cурет), сонда
d
d
d , .
(1.23)
Осы өрнекті dt-ға бөліп, жылдамдықты түрлендірудің формуласын
аламыз:
,
(1.24)
мұндағы, v' жəне v – А нүктенің сəйкес түрде К жəне К'-жүйелеріндегі
жылдамдықтары.
Енді үдеулерге көшейік. (1.24) теңдеуі бойынша v вектордың dt уақыт
аралығындағы dv өсімшесі К-жүйеде v' жəне
векторларының
өсімшелерінің қосындысынан тұруы тиіс, яғни
d
d
, d .
(1.25)
dv' өсімшені табайық. Егер А нүкте К' жүйеде v'=const жылдамдықпен
қозғалатын болса, онда бұл вектордың К-жүйесіндегі өсімшесі оның тек dφ
бұрышқа бұрылуынан ғана туады (К'-жүйемен бірге) жəне r
жағдайындағыдай
d ,
векторлық көбейтіндіге тең. Бұған v' вектордың
басын айналыс өсімін біріктіру арқылы көз жеткізуге болады. (1.14,б-сурет).
Егер А нүктенің К'-жүйеде a' үдеуі болса, онда dt уақыт аралығында v' вектор
қосымша a'dt өсімше алады сонда:
d
d
d ,
.
(1.26)
29
Енді (1.26) жəне (1.23) өрнектерді (1.25) теңдікке қойып, алынған
нəтижені dt-ге бөлеміз. Нəтижесінде үдеуді түрлендірудің келесі формуласын
аламыз:
2
,
(1.27)
мұндағы, a жəне a' – А нүктенің К жəне К санақ жүйелеріндегі үдеулері. Бұл
формуланың оң жағындағы екінші қосылғыш Кориолис (немесе бұрылыс)
үдеуі
кор
, ал үшінші қосылғыш –
с
-өске тартқыш үдеу
деп аталады:
кор
,
с
.
(1.28)
Сонымен, нүктенің A жүйеге қатысты a үдеуі үш үдеудің қосындысына
тең: К'-жүйеге қатысты a' үдеу,
кор
Кориолис үдеуі жəне өске тартқыш
с
үдеу.
Өске тартқыш үдеуді
с
деп жазуға болады, мұндағы -
айналыс өсіне перпендикуляр жəне А нүктенің осы өске қатысты орнын
анықтайтын радиус-векторы. Сонда (1.27) формуланы төмендегідей жазуға
болады:
.
(1.29)
3. К' жəне К-жүйеге қатысты ілгерiлемелі жылдамдықпен жəне
үдеумен қозғалып бара жатқан өс тұрақты ω бұрыштық
жылдамдықпен айналады. Бұл жағдай алғашқы екі жағдайды біріктіреді.
К'-жүйенің айналыс өсімен берік байланысқан жəне К-жүйеге қатысты
ілгерiлемелі қозғалатын көмекші S-жүйені енгіземіз. v жəне -А нүктенің К
жəне S-жүйелердегі жылдамдықтары болсын, сонда (1.21) теңдеуге сай
болады,
жылдамдықты (1.24) бойынша
өрнекпен алмастырамыз, мұндағы, r – А нүктенің К-жүйенің айналыс
өсіндегі кез келген нүктеге қатысты радиус-векторы, сөйтіп, жылдамдықты
түрлендіру үшін мына формуланы аламыз:
.
(1.30)
(1.22) жəне (1.29) формулаларды пайдалана отырып, үдеуді түрлендіру
формуласын табамыз:
.
(1.31)
Соңғы екі формуладағы v, v' жəне a, a' – А нүктенің сəйкес түрде К жəне
К'-жүйелеріне қатысты жылдамдықтары мен үдеулері,
жəне
К-
Өскетартқыш үдеуді нормаль үдеумен ауыстырамыз.
30
жүйедегі К'-жүйесінің айналыс өсінің жылдамдығы мен үдеуі. r-А нүктенің
К-жүйесінің айналыс өсінің кез келген нүктесіне қатысты радиус-векторы,
– айналыс өсіне перпендикуляр жəне А нүктенің осы өске қатысты орнын
анықтайтын радиус-вектор.
Мысал. Диск столға бекітілген өсті тұрақты ω бұрыштық жылдамдықпен айналады.
Дискінің бойымен столға қатысты v жылдамдықпен А нүктесі қозғалады. А
нүктенің айналыс өсіне қатысты орнын сипаттайтын радиус-векторы болатын
уақыт үшін А нүктенің дискіге қатысты v' жылдамдығы мен үдеуін табу керек.
А нүктенің v' жылдамдығы (1.24) бойынша
.
үдеуді (1.29) формуласы бойынша табамыз, тек бұл жерде
екендігін
ескерсек, онда
0 болады. Сонда:
.
Осы формулаға v' мəнін қойған соң келесі өрнек шығады:
.
Есептер
1.1. Қозғалмайтын О нүктеге қатысты А бөлшектің орнын сипаттайтын радиус-вектор
уақыт бойынша өзгереді:
sin
cos
,
мұндағы A жəне B – тұрақты векторлар, əрі A B; ω – оң тұрақты шама. Х жəне Y өс
бағыттары бойынша A жəне B векторлармен бірдей түсетіндей жəне басы О
нүктесінде болатындай етіп алып, бөлшектің a үдеуін
жəне оның траекторияларының у(х) теңдеуін табу
керек.
Шығару жолы. r радиус-векторды уақыт бойынша
екі рет дифференциалдап табамыз.
ω
sin
cos
ω
яғни, a вектор барлық уақытта да О нүктеге қарай
бағытталған, ал оның модулі бөлшектің осы нүктеге
дейінгі
қашықтығына
пропорционал.
Енді
траекторияның теңдеуін табамыз. r векторды X жəне Y
өстеріне проекциялаймыз:
sin
,
cos
Осы екі теңдеулерден ωt шамасын шығарып тастап, келесі өрнекті табамыз:
1.15-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
