31
/
/
1
Бұл эллипстің теңдеуі, A жəне B – оның жарты өстері (1.15-суретте тілшікпен M
бөлшегінің қозғалыс бағыты көрсетілген).
1.2. Орын ауыстыру жəне жол. Бөлшекке
0 сəтте жылдамдық беріледі, осыдан
кейін оның жылдамдығы t-уақыт бойынша өзгере бастайды:
1
/
мұндағы, - оң тұрақты шама. Алғашқы t- секунд ішіндегі қозғалыс үшін:
1) бөлшектердің
∆ орын ауыстыру векторын; 2) оның жүріп өткен
s
жолын табу
керек.
Шығару жолы.1. (1.1) бойынша
d
d
1
/ d осы теңдеуді 0-ден t-
ға дейін интегралдап, келесі өрнекті табамыз:
∆
1
/2
2. Бөлшектің t уақыт ішінде жүріп өткен жолы s
d
мұндағы, – v вектордың модулі. Бұл жерде
|1
/ |
1
/ , егер
/
1 , егер
Осыдан,
кезінде жолды есептеуге қажет
интегралды екіге бөлу қажеттілігі шығады:
0-ден -ға жəне -дан t-ға дейін.
Екі жағдай үшін де интегралдауды жүргізіп,
алатынымыз:
1
/2 , егер
1
2
1
1
/
, егер
1.16-суретте
мен
тəуелділіктерінің графиктері келтірілген. Осы суретте
штрихталған сызықтармен
пен
∆x–тің t-дан тəуелділіктері көрсетілген. Мұнда v
мен
∆ векторлардың Х өсіне құраушылары.
векторы бойымен бағытталған X өсіне түсірілген мен
∆ векторларының
проекциялары жəне
∆ болып табылады.
1.3. Трамвай А аялдамадан В аялдамаға дейін
заңы бойынша түзусызықты
өзгеретін үдеумен қозғалады, мұндағы
жəне – оң тұрақтылар, s – оның А
аялдамадан қашықтығы. Осы аялдамалардың арақашықтығын жəне трамвайдың
максималды жылдамдығын табу керек.
1.16-сурет
32
Шығару жолы. Əуелі жылдамдықтың s-ке тəуелділігін анықтаймыз. dt − уақыт
аралығындағы жылдамдықтың өсімшесі
d . Бұл өрнекті d
d / екендігін
пайдаланып, интегралдауға ыңғайлы түрге келтіреміз, сонда
d
d .
Осы теңдеуді интегралдап (сол жағын 0-ден -ға дейін, оң жағын 0-ден
s-
ке дейін)
табамыз:
/2,
2
.
Осыдан аялдамалар арасы, яғни
болатын кездегі
υ
0 мəні
2 / .
Максималды жылдамдықты
d /d
0 шартынан, немесе түбір астындағы өрнектің
максимумынан табамыз. Осыған сəйкес келетін
мəні
жəне
/
/√ .
1.4. X, Y жазықтығында координаталары
0 тең нүктеден бөлшек
жылдамдықпен қозғалады, a жəне b – қайсыбір тұрақтылар, i жəне j – X жəне Y
өстерінің орттары. Бөлшек траекториясының у(х) теңдеуін табу керек.
Шығару жолы. Бөлшектің x жəне у координаттарының dt уақыт ішіндегі
өсімшесін табамыз:
d
d , d
d .
мұндағы,
,
. Олардың қатынасынан
d
/
d .
осы өрнекті интегралдаймыз
/
d
/2
.
Яғни, бөлшектің траекториясы парабола болғаны.
1.5. Горизонталь жолмен (x өсі) бірқалыпты домалап келе жатқан доңғалақ табанындағы
А нүктесінің қозғалыс заңын келесі түрде көрсетуге болады:
sin
1
cos
.
Мұндағы, b жəне ω – оң тұрақты шамалар. А нүктенің жылдамдығын, доңғалақтың
табанымен жолды қатарлас екі рет басып өткендегі жүріп өткен s жолын, сонымен
қатар А нүкте үдеуінің модулін табу керек.
Шығару жолы. А нүктенің жылдамдығы жəне оның жүріп өткен s жолы мына
формулалармен анықталады:
=
2 1
cos
=2b
| sin
/2 , |,
4 1
cos
/2 .
мұндағы, t - А нүктенің жолды қатарласа екі рет басып өту уақыт аралығы.
теңдеуінен
2 кезінде
0 болатындығын табамыз.
Сондықтан,
8 .
33
А нүктенің үдеу модулі:
.
Модулі бойынша тұрақты болып қалатын a вектор үнемі доңғалақтың центріне –С
нүктесіне қарай бағытталатындығын көрсетейік. Шынында да С−нүктесімен
байланысқан жəне жолдың бетіне қатысты ілгерiлемелі, бірқалыпты қозғалатын K'-
жүйесінде, А нүкте С−нүктені айнала бірқалыпты қозғалады. Сондықтан оның К-
жүйесіндегі үдеуі доңғалақтың центріне қарай бағытталған. Ал K'-жүйе бірқалыпты
қозғалғандықтан, a векторы да жол бетіне қатыстытура солайбағытталған.
1.6. Нүкте шеңбер бойымен əр сəтте тангенциал үдеумен нормаль үдеуінің модульдері
бір-біріне тең болып қалатындай түрде баяу қозғалады. Бастапқы сəтте нүктеге
бастапқы жылдамдық беріледі. Нүктенің жылдамдығын жəне толық үдеуінің a
модулін жүріп өтілген s жолға тəуелді түрде табу керек.
Шығару жолы. Есептің шарты бойынша
dυ/d
/ . ds/ орнына dt қойып,
бастапқы теңдеуді келесі түрге келтіреміз:
d /
d / .
Бастапқы жылдамдықты ескере отырып, осы теңдеуді интегралдасақ, онда
e
/
.
Бұл жерде |
|
, сондықтан толық үдеудің модулі келесі өрнекпен сипатталады:
√2
√
, немесе
√2
/ e
/
.
1.7. Нүкте жазық траекториямен тангенциалдық үдеуі
, ал нормал үдеуі
болатындай түрде қозғалады, мұндағы,
жəне b – оң тұрақтылар, t уақыт. Нүкте
0 сəтте қозғала бастайды. Нүктенің траекториясының ρ қисықтық радиусын
жəне оның толық үдеуін жүріп өткен s жолға тəуелді түрде анықтау керек.
Шығару жолы. Жылдамдықтың қарапайым өсімшесі
d . Осы теңдеуді
интегралдап,
табамыз. Жүріп өткен жол
/2.
Траекторияның қисықтық радиусын (1.10) теңдеуі бойынша келесі түрде келтіруге
болады:
/
/
, немесе
/2 .
Толық үдеумодулі:
1
4
/
.
1.8. Бөлшек жылдамдықпен параболалық
траектория бойымен бірқалыпты
қозғалады, мұндағы – оң тұрақты. Бөлшектің нүктедегі
0 үдеуін табу керек.
Шығару
жолы.
Траекторияның
теңдеуін
уақыт
бойынша
екі
рет
дифференциалдаймыз:
2
,
2
.
Бөлшек бірқалыпты қозғалғандықтан, оның үдеуі траекторияның барлық
нүктелерінде таза нормал болады жəне
0 нүктеде ол осы нүктедегі туындымен
бірдей түседі. Осыны ескеріп,
0 нүктеде | |
болатындықтан келесі өрнекті
табамыз:
Достарыңызбен бөлісу: |
