98
– потенциалы потенциалдық энергия сияқты белгілі бір тұрақтыға
дейінгі дəлділікпен анықтала алынады. Сондықтан бұл болмашы тұрақтыны
ескермеуге болады.
Сонымен өрісті векторлық түрде
немесе скалярлық түрде
арқылы сипаттауға болады. Екі тəсіл де дұрыс. Алайда, өрісті екінші
тəсілмен сипаттау əлдеқайда ыңғайлы, оның бірнеше себебі бар:
1.
-ді біле отырып,
A өрісінің потенциалдық энергиясы мен
жұмысын есептеуге болады:
,
(4.24)
2.
функциясының үш компонентінің орнына,
скалярлық
шаманы анықтау ыңғайлы.
3. Егер өрістің құраушысы көп болса, онда оның потенциалын
арқылы анықтау -мен салыстырғанда жеңілдеу. Потенциалдар скалярлық
болғандықтан оларды қосуға болады. Нүктелердің бағыттарын елемей,
шындығында да (4.20) мен (4.21) арқылы :
d
∑ G d
∑ dφ
d ∑ φ
dφ
cонымен
∑ φ
(4.25)
φ өрістің белгілі бір нүктедегі i-ші бөлшегінің потенциалы.
4.
функциясын біле отырып,
-ді оңай қалпына келтіріп,
.
(4.26)
формуласымен оңай табуға болады.
Бұл формула тікелей (4.18) формуладан шығады.
§ 4.3. Өрістегі бөлшектердің механикалық энегиясы
Кинетикалық энергия
Массасы -
m бөлшек кейбір күштің əсерінен қозғалыста болсын
(жалпы жағдайда бірнеше күштердің қорытындысы да болуы мүмкін). Осы
күштің элементар
d орын ауыстыруда атқаратын элементар жұмысын
табайық.
d /d жəне d
d екендігін ескере отырып
d
d
99
өрнегін жазамыз.
Скалярлық көбейтінді
d
d
мұндағы,
d
дегеніміз
вектордың бағытына
d вектордың проекциясы. Бұл проекция d
жылдамдық векторының модулінің өсімшесіне тең. Сондықтан
d
жəне элементар жұмыс түрде анықталады:
/2
Осыдан
F қорытынды күштің жұмысы кинетикалық энергия деп аталып
кеткен кейбір шаманың өсімшесіне тең (жақша ішіндегі) болады:
/2.
(4.27)
Сонымен элементар орын ауыстыру кезіндегі кинетикалық энергияның
өсімшесі:
(4.28)
ал 1- нүктеден 2- нүктеге дейінгі шектеулі орын ауыстыру кезінде :
(4.29)
яғни,
бөлшектің кинетикалық энергиясының қайсыбір орын ауыстыруы
кезіндегі кинетикалық энергиясының өсімшесі бөлшекке осы орын ауыстыру
кезінде əсер еткен барлық күштер жұмыстарының алгебралық
қосындысына тең болады. Егер
0 болса, онда
, яғни бөлшектің
кинетикалық энергиясы кемиді.
(4.28) жəне (4.29) теңдеулер инерциялық жəне инерциялық емес санақ
жүйелерінде де орындала алады. Инерциялық емес санақ жүйелерінде
қарастырылып отырған бөлшекке кейбір денелер тарапынан əсер ететін
күштермен қатар өзара əрекеттесу күштері мен инерция күштерін де ескеру
керек. Сондықтан бұл теңдеулерде жұмыс деп өзара əрекеттесу күштері мен
инерция күштері жұмыстарының алгебралық қосындысын түсіну керек.
Бөлшектің толық механикалық энергиясы
(4.28) бойынша бөлшектің кинетикалық энергиясының өсімшесі
бөлшекке əсер ететін барлық күштердің
F қорытынды элементар жұмысына
тең болады. Бұл қандай күштер? Егер бөлшек потенциалдық өрісте тұрған
болса, онда оған осы потенциалдық өрістің тарапынан консервативтік
F
кон
күш əсер етеді. Сонымен қатар бөлшекке тегі бөлек басқа күштер де əсер етуі
мүмкін. Оларды
F
тос
тосын күштер деп атайды.
100
Сонымен, бөлшекке əсер ететін барлық F күштердің қорытындысын
KOH
T
oc
F F
F түрінде жазуға болады. Осы барлық күштердің жұмысы
бөлшектің кинетикалық энергиясын өсіруге жұмсалады.
Toc
k
K
A
A
мұндағы,
k
A
өріс күшінің жұмысы,
Toc
A
– тосын күштердің жұмысы. (4.10)
бойынша өріс күштерінің жұмысы бөлшектің потенциалдық энергиясының
кемуіне тең, яғни:
Toc
A
U
. Осы өрнекті жоғарыдағы формулаға қойып
жəне
U
мүшені сол жаққа шығарып, өрнекті табамыз:
Toc
(
)
K U
K U A
Осыдан
Toc
A
− тосын күштертің жұмысы
K+U шамасын арттыруға
кететіні көрініп тұр. Кинетикалық жəне потенциалдық энергиялардың
қосындысынан тұратын осы шаманы өрістегі
бөлшектің толық механикалық
энергиясы деп атайды.
E = K + U
(4.30)
Толық механикалық энергия да потенциалдық энергия сияқты кез
келген тұрақты шаманы қосқанға дейінгі дəлділікпен анықталады.
Сонымен
бөлшектің
1-нүктеден
2-нүктеге
элементар
орын
ауыстырудағы консервативті күштердің стационарлық өрісіндегі толық
механикалық энергияның өсімшесін
Toc
2
1
E
E
A
(4.31)
түрінде келтіруге болады, яғни
бөлшектің толық механикалық энергиясының
қайсыбір жолдағы өсімшесі осы жол бойында бөлшекке əсер ететін барлық
тосын күштер жұмыстарының алгебралық қосындысына тең болады. Егер
Toc
0
A
болса, онда бөлшектің толық механикалық энергиясы артады, ал
Toc
0
A
болса толық механикалық энергия азаяды.
Мысал. Көлдің бетінен биіктігі h жардан массасы m дене
0
v
жылдамдықпен
лақтырылады. Дене су бетіне v жылдамдықпен түскен кездегі ауаның кедергісі
тарапынан атқарылған жұмысты табу керек.
Шығару жолы. Егер дененің қозғалысын Жер тарапынан тартылыс өрісінде
қарастыратын болсақ, онда ауа кедергісі тарапынан болатын күш тосын күш
болады да, (4.31) теңдеуге сай, іздеп отырған жұмысымыз
тос
m /2
m /2
g
немесе
Достарыңызбен бөлісу: |
