46
§ 2.4. Динамиканың негізгі теңдеуі
Материалдық нүктенің динамикасының негізгі теңдеуі дегеніміз
Ньютонның екінші математикалық өрнегі болы табылады:
(2.14)
(2.14) материалдық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеуі.
Осы теңдеудің шешімі материалдық нүкте динамикасының ең негізгі
мəселесі болып табылады. Оны шешу барысында екі түрлі қарама-қарсы
мəселелер туады:
1. Егер нүктенің массасы m жəне оның
радиус-векторының уақытқа
тəуелділігі белгілі болса, онда нүктеге əсер ететін F күшті табу керек;
2. Eгер нүктенің m массасы, оған түсірілген F күш (немесе күштер)
жəне бастапқы шарттар – нүктенің бастапқы уақытында жылдамдығы мен
оның қалпы белгілі болса,онда нүктенің қозғалыс заңын, яғни оның
радиус-векторының уақытқа тəуелділігін табу керек.
Бірінші жағдайда есеп
радиус-векторды уақыт бойынша
дифференциалдауға, екінші жағдайда теңдеуді интегралдауға əкеліп тіреледі.
Мұндай мəселенің математикалық жағы нүктенің кинематикасында толық
қарастырылған.
Берілген есептің қойылу шарты мен сипатына байланысты (2.14)
теңдеуінің шешуін векторлық түрде немесе траекторияға берілген нүктеде
жанама мен нормалға проекциялары түрінде жүргізеді. Енді осы (2.14)
теңдеудің соңғы екі жағдайын қарастырайық.
Декарт координаты өстеріндегі проекциялар
Декарт координат өстеріндегі проекциялары бойынша (2.14) теңдеудің
екі жағын да
, , өстеріне проекциялап, үш дифференциалдық теңдеулерді
аламыз.
,
,
(2.15)
мұндағы,
, ,
- F вектордың
, , өстеріндегі проекциялары.
Бұл проекциялардың бəрі алгебралық шамалар екенін естен шығармау
керек. F вектордың бағытына байланысты олар не оң не теріс шамалар болуы
мүмін. F қорытынды күштің проекциясы үдеу векторының проекциясының
да таңбасын анықтайды.
47
Енді осы (2.15) теңдеуді есеп шығарғанда қалай пайдалануға
болатындығына мысалдар келтірейік.
Мысал. Массасы m болатын кішкентай кесек дене
горизонтпен кішкентай бұрыш жасайтын көлбеу
жазықтықтың бетімен төмен қарай сырғанайды.
Үйкеліс коэффициенті k. Дененің көлбеу жазықтыққа
қатысты үдеуін табу керек (бұл санақ жүйесі
инерциялық болып саналады).
Шығару жолы. Əуелі денеге түсірілген барлық
күштерді өрнектеу керек. Бұлар ауырлық күші
,
жазықтық тарапынан болатын нормал реакция күші
R, дененің қозғалысына қарсы бағытталған үйкеліс
күші
үйк
(2.2-сурет). Осыдан кейін «көлбеу
жазықтық» санақ жүйесін
, , координат жүйесімен байланыстырамыз.
Координат өстерін таңдауымызша бағыттауға болады, бірақ оны таңдағанда
көбіне берілген есептің шешуін жеңілдетуді қарастырады. Біздің жағдайымызда
дененің қозғалыс бағыты белгілі, сондықтан да координаттарды координат
өстерінің біреуі қозғалыс бағытында болатын етіп орналастырған жөн. Сонда
бізге тек (2.15) теңдеулерінің біреуін ғана шешуге тура келеді. Сонымен, X өсін
2.2-суретте көрсетілгендей етіп аламыз, əрі өстің оң бағытын міндетті
түрдебелгілеу керек.
Енді (2.15) теңдеулерді құрастыруға кірісейік, сол жақта − дененің m массасының
оның үдеуінің проекциясына көбейтіндісі жəне оң жақта − барлық күштердің X
өсіне проекциялары енеді.
Сонда:
g
үйк
.
Біздің жағдайымызда
g
g sin ,
0 жəне
үйк
.
үйк
сондықтан
g sin
үйк
.
Дене X өсі бойымен қозғалатын болғандықтан, осы бағытқа перпендикуляр
бағыттардың барлығында да барлық күштердің проекцияларының қосындысы
нөлге тең болады. Осындай бағыт ретінде Y өсін алып (2.2-сурет), келесі өрнекті
табамыз:
g cos ,
үйк
g cos .
Ақыры
g sin
g cos .
Егер осы теңдеудің оң жағы оң мəнді болса, онда
0, ал олай болса вектор
көлбеу жазықтық бойымен төмен қарай бағытталғанды білдіреді жəне керісінше.
2.2-сурет
48
Күш траекториясының берілген нүктесіндегі жанама жəне
нормал проекциялар
(2.14) теңдеудің екі жағын да жылжымалы жəне n орттарына
проекциялап (2.3-сурет), сосын бұдан бұрын тангенциал жəне нормал
үдеулер үшін алынған (1.10) теңдіктерді пайдаланып жазамыз:
,
(2.16)
мұндағы,
жəне
– векторының жəне n
орттарындағы проекциялары. 2.3-суреті бойынша
проекциялар оң шама болып келеді. жəне -
векторларын күштің тангенциал жəне нормал
құраушылары деп атайды. орттың бағытының l
доғалық координаттың өсу бағытында, ал n
орттың бағытының траекториясының берілген
нүктесінің
қисықтық
центріне
қарай
бағытталғандығын еске сала кетейік. (2.16)
теңдеулерін материалдық нүктенің траекториясы алдын ала белгілі болған
кезде пайдаланған ыңғайлы.
Мысал. Кішігірім А дене радиусы r болатын тегістелген сфераның төбесінен төмен қарай
сырғанайды. Егер дененің бастапқы жылдамдығы
ескерусіз аз болса, сфераның бетінен дененің
жұлынып кету жылдамдығын табу керек.
Шығару жолы. А денеге түсірілген күштерді
салып (бұл күштер ауырлық күші
мен
реакцияның нормал күші R) жəне (2.16)
теңдеулерді жəне n орттарға проекциялап
жазайық (2.4-сурет)
g sin .
g cos
.
Бұл жерде индекстің онша қажеті жоқ.
Бірінші теңдеуді интегралдауға ыңғайлы түрге келтірейік.
d
d /
екендігін пайдаланып, мұндағы,
d – А дененің d уақытта жүріп өткен элементар
жолы, бірінші теңдеуді төмендегі түрде жазамыз:
d
g sin d .
2.3-сурет
2.4-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
