Т.Қ. Қойбағарова, Р. А. Ельтинова

 
34 
Енді  осы  өрнекті  ондық  арифметика  ережесімен  есептегенде 
шығатын ақырғы нәтиже:  
1753
8
 – (512 + 448 + 40 + 3)
10
 = 1003
10
. 
Ондық  жүйеде  ашық  формада  бірден  жазу  жиі  қолданылады. 
Мысалы, екілік сан үшін: 
101101,1
2
 =(1*2
5
 + 0*2
4
+ 1*2
3
+ 1*2
2
 + 0*2
1
 + 1 + 1*2
-1
 )
10
 = 32 + 8 
+ 4 + 1 + 0,5 = 45,5
10
. 
Санның  ашық  формасы  бойынша  есептеудің  мына  ыңғайлы 
әдісі бар. Ол есептеу Горнер схемасы деп аталады. Оның мәні мынада 
–  санның  ашық  жазылуы  ішкі  жақшалары  бар  эквивалентті  формаға 
айналады. Мысалы, жоғарыда қарастырылған сегіздік сан үшін:  
1753
8
 = (1*8
3
 + 7*8
2
 + 5*8
1
+ 3)
10
 = ((1 *8 + 7)*8 + 5)*8 + 3. 
Бұл  схема  бойынша  есептеудің  ыңғайлылығы  –  көбейту  мен 
қосу  амалдары  солдан  оңға  қарай  жазылу  бойынша  орындалады. 
Сондықтан қарапайым калькуляторды қолдануға болады. 
Ондық  сандарды  басқа  санау  жүйелеріне  аудару  күрделірек 
болады. Бұл да есептеудің ашық формасы арқылы жүзеге асады. Бірақ 
мұнда  ондық  санды  n≠10  жаңа  негізді  санның  қосындысын  дәреже 
бойынша  жазу  керек.  Мысалы,  85
10
  санын  екінің  дәресі  бойынша 
былай жазылады: 
85
10
=1*2
6
+0*2
6
+1*2
4
+0*2
3
+1*2
2
+0*2+1=1010101
2
 
Мұны  ойша  орындау  оңай  емес.  Сондықтан  аудару  алгоритмін 
талдап көрсету қажет [21,51-бетті қараңыз]. 
Базалық  курс  көлемінің  аздығына  байланысты  ондық  бөлшек 
сандарды  басқа  санау  жүйелеріне  аудару  тәсілдерін  қарастырмаса  да 
болады. 
ЭЕМ-де  екілік  санау  жүйесін  қолдану  мына  екі  аспектіде 
қарастырылады: 
1) екілік нөмірлеу; 
2)  екілік  арифметика,  яғни  екілік  сандармен  арифметикалық 
амалдарды орындау.  
Екілік  нөмірлеу  ұғымымен  оқушылар  «Компьютер  жадында 
мәтіннің  ұсынылуы»  тақырыбын  қарастырғанда  кезігеді.  Онда  ASCII 
кодтау  кестесі  туралы  баяндағанда  мұғалім  оқушыларға  символдың 
ішкі  екілік  коды  –  екілік  санау  жүйесінде  оның  реттік  нөмірі  екенін 
айтуы қажет.  
Екілік  сандармен  арифметикалық  амалдарды  орындау 
тақырыбын  қарастыру,  компьютердің  логикалық  элементтерін,  яғни 
процессордың жұмысымен танысу үшін қажет.  
Дж. Фон 
 
Нейманның принципі бойынша, компьютерде амалдар 
тек  екілік  жүйеде  орындалады.  Базалық  курстың  көлемінде  екілік 

 
35 
бүтін  сандарды  есептеумен  шектелуге  болады  [21,1-тарау,  §3 
қараңыз].   
Екілік  жүйе  компьтерлер  үшін  ыңғайлы,  бірақ  разрядтар 
санының  тез  өсуіне  байланысты  адамға  тұрмыста  қолдануға 
ыңғайсыз.  Компютерде  ақпаратты  сақтау  үшін  көбінесе  он  алтылық 
код қолданылады.  
Екілік  және  он  алтылық  жүйелерде  жазудың  арасында 
қарапайым  байланыс  бар.  Санды  бір  жүйеден  екінші  жүйеге 
аударғанда  бір  он  алтылық  цифрға  4-разрядты  екілік  код  сәйкес 
келеді.  
Бұл  сәйкестік  мына  (2.1-кесте)  екілік-он  алтылық  кестеде 
бейнеленген: 
2.1-кесте. Екілік-оналтылық кестесі  
16 
2 
16 
2 
0 
0000 
8 
1000 
1 
0001 
9 
1001 
2 
0010 
А 
1010 
3 
0011 
В 
1011 
4 
0100 
С 
1100 
5 
0101 
D 
1101 
6 
0110 
Е 
1110 
7 
0111 
F 
1111 
Мұндай  байланыстың  негізі  16  =  2
4
  болуы,  себебі  0  және  
1 цифрларын әртүрлі 4-орынды қиыстру саны 16: 0000-ден 1111 дейін.  
Сондықтан  сандарды  «16»-дан  «2»-ге  және  кері  аудару,  қайта 
кодтау жолмен жүзеге асады. Он алтылық ұсынудың артықшылығы 
– екіліктен 4 есе қысқа болады.  
Оқушылардың  екілік-он  алтылық  кестені  есте  сақтағандары 
дұрыс  болар  еді.  Онда  олар  үшін  сандардың  он  алтылық  ұсынымы 
екілікке  эквивалентті  қалыптасады.  Компьютерде  жедел  жадының 
адрестері он алтылық түрде жазылады. 
Есептерді шығару мысалдары 
1-мысал. Ондық жүйеге аудару керек: 221
3
;   Е41А,12
16
. 
Шешімі: 
221
3
 = (2*3 + 2)*3+1 = 25
10
; 
Е41А,12
16
 =((14*16 + 4)*16 + 1)*16+ 10 + (2/16 + 1)/16 = 
= 58394 + 0,0703125 = 58394,0703125
10
. 
Назар  аударыңыз:  бөлшек  бөлім  жеке  аударылады  және  онда 
Горнер схемасында көбейту амалы бөлуге ауыстырылады, ал цифрлар 
кері реттпен – оңнан солға қарай тіркестіріледі.  
2-мысал. Он алтылық сандарды сегіздік жүйеге аудару керек: 

 
36 
Шешімі:  Әрине,  аударуды  ондық  жүйе  арқылы  16 

  10 

  8 
схемасы  бойынша  жүзеге  асыруға  болар  еді,  бірақ  ол  ұзақ  және 
ыңғайсыз. Мына 16 

 2 

 8 схема бойынша орындаған ыңғайлы.  
774
16
 = 0111 0111 0100
2 

 011 101 110 100 = 3564
8
;  
F12,0457
16
 = 1111 0001 0010,0000 0100 0101 0111
2 

  

 111 100  010 010, 000 001 000 101 011 100 = 7422,010534
8
. 
2.4. Логика тілі және оның базалық курстағы орны 
Логика  –  ақиқат  және  дұрыс  ойлаудың  формасы  (қалыбы), 
заңдары мен ережелері туралы ілім [31, 89-бет].  
Ойдың  ақиқат  әрі  дұрыс  болуын  ұйымдастыратын  және 
қадағалайтын  біліми  пән  логика  деп  аталады.  Ойлаудың  пішіні 
(қалыбы)  деп  шынайы  өмірдегі  нәрселердің  қасиеттері  мен 
қатынастарын бейнелеу әдістерін атайды.  
Логика  пәнінде,  негізінен,  үш  түрлі  ойлау  қалыбы 
қарастырылады. Олар: 1) «ұғым»; 2) «пайым» және 3) «ойқорыту» деп 
аталады.  Ойлау  формаларының  әрқайсысына  белгілі  бір  тұлғалық 
құрылым  тән  болып  келеді.  Бұл  құрылымдарды  өрнектеп  көрсету 
үшін  арнаулы  белгілемелер  (символикалар)  жүйесі  қолданылады. 
Осындай  белгілемелер  тілінде  өрнектелген  ойды  формалданған 
(қалыптанған) ой деп атайды [31, 89-бет].  
Ойқорытулар  ережелерінің  жиынына  байланысты  ғылыми  пән 
ретінде  логика  бірнеше  түрлерге  бөлінеді:  формалданған  логика, 
математикалық  логика,  ықтималды  логика,  диалектикалық  логика 
және т. б.  
Математикалық  логиканың  негізін  қалаушысы  ретінде  ұлы 
неміс  математигі  Лейбниц
1
 есептеледі.  Ол,  XVII  ғасырда,  бірінші 
логикалық  есептеулерді  құруға  талпынған.  Логиканы  есептеулерге 
жақындатып, логикалық символиканы дәлдеген және жетілдірген.  
Лейбниц құрған іргетастың үстіне басқа ұлы математик Джордж 
Буль
2
 ғылымның жаңа аймағын – математикалық логиканы құрған. Ол 
логикалық  құрылымдар  үшін  ерекше  алгебра  –  логикалар  алгебрасы 
(Буль  алгебрасы)  атты  тұтас  бір,  тың  математикалық  білім  саласын 
өмірге  келтірді.  Онда,  дағдылы  алгебрадан  айырмасы,  символмен 
сандар емес, пікірлер белгіленеді.  
Қазіргі  математикалық  логика,  оқиғалар  ықтималдығы  және 
ақпарат  теориясы  атты  дискреттік  математика  тараптары  Буль 
                                                 
1
 Готфрид  Вильгельм  фон  Лейбниц  (1646—1716)—неміс  философы,  математик,  заңгер, 
дипломат. 
2
 Джордж  Буль  (1815—  1864)—ағылшын  математигі  және  логигі.  Математикалық  логиканың 
тұңғыш негізін қалаушылардың бірі.